Odwzorowania nieliniowe

• Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ nie jest liniowe.
• Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto x+1}$ nie jest liniowe (choć równanie ${\displaystyle y=x+1}$ jest równaniem liniowym według terminologii używanej w geometrii analitycznej).

Powyższe odwzorowania nie spełniają warunków addytywności.

Odwzorowania liniowe

• Funkcje jednorodne są funkcjami liniowymi, np.
  • funkcja stała ${\displaystyle \mathbf {x} \to \mathbf {0} }$ (odwzorowanie w przestrzeń trywialną)
  • funkcja tożsamościowa ${\displaystyle \mathbf {x} \to \mathbf {x} }$
  • jednokładność ${\displaystyle \mathbf {x} \to a\mathbf {x} }$
• Pochodna ${\displaystyle f\to \mathrm {D} f}$ jest liniowa, gdzie ${\displaystyle f}$ jest funkcją różniczkowalną (np. funkcją rzeczywistą; funkcje różniczkowalne tworzą przestrzeń funkcyjną, która jest przestrzenią liniową).
• Operacja różniczkowania ${\displaystyle f\to \mathrm {D} f}$ przyporządkowania funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f}$ jej funkcji pochodnej ${\displaystyle \mathrm {D} f}$ jest operacją liniową ze zbioru funkcji różniczkowalnych na zbiór wszystkich funkcji (funkcje różniczkowalne tworzą przestrzeń funkcyjną, która jest przestrzenią liniową).
• Operacja różniczkowania definiuje także operator liniowy na przestrzeni wszystkich funkcji gładkich (tj. różniczkowalnych dowolną liczbę razy).
• Całka oznaczona, określona na przedziale ${\displaystyle I}$ jest odwzorowaniem liniowym ze zbioru funkcji całkowalnych o wartościach rzeczywistych z przedziału ${\displaystyle I}$ na zbiór ${\displaystyle \mathbf {R} .}$
• Całka nieoznaczona o ustalonym punkcie początkowym definiuje odwzorowanie liniowe ze zbioru funkcji całkowalnych na zbiorze ${\displaystyle \mathbf {R} }$ na przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych, różniczkowalnych na zbiorze ${\displaystyle \mathbf {R} .}$
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą ${\displaystyle m\times n}$ o elementach rzeczywistych, to ${\displaystyle A}$ definiuje odwzorowanie liniowe ze zbioru ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ do zbioru ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m},}$ gdy przyporządkowuje wektorowi kolumnowemu ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$ wektor kolumnowy ${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{m}.}$ Odwrotnie, każde odwzorowanie liniowe pomiędzy przestrzeniami liniowymi skończonego wymiary może być reprezentowane za pomocą macierzy ${\displaystyle m\times n.}$
• Operator liniowy przekształcenia Fouriera, który przyporządkowuje funkcji ${\displaystyle f}$ funkcję ${\displaystyle g}$:

  ${\displaystyle g(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$

• • 
    Przykładowa funkcja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ postaci ${\displaystyle f(x,y)=(2x,y)}$ jest odwzorowaniem liniowym: funkcja ta mnoży współrzędną ${\displaystyle x}$ przez ${\displaystyle 2,}$ a współrzędną ${\displaystyle y}$ pozostawia bez zmian.
  • 
    Funkcja liniowa jest zawsze addytywna, tzn. nie ma znaczenie, czy wektory są najpierw dodawane, a potem odwzorowywana ich suma, czy najpierw każdy z nich odwzorowywany, a potem są dodawane: ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
  • 
    Funkcja liniowa jest zawsze jednorodna, tzn. nie ma znaczenia, czy wektor jest najpierw wydłużany, a potem odwzorowywany, czy najpierw odwzorowywany, a potem wydłużany: ${\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

Wybór baz

Jeśli ${\displaystyle U,V}$ są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, ${\displaystyle \dim U=n,}$ ${\displaystyle \dim V=m,}$ to przekształcenie liniowe między nimi można przedstawić za pomocą macierzy ${\displaystyle m\times n,}$ przy czym:

• wybranie bazy ${\displaystyle (\mathbf {a} _{i})}$ w przestrzeni ${\displaystyle U}$ oraz bazy ${\displaystyle (\mathbf {b} _{j})}$ w przestrzeni ${\displaystyle V}$ prowadzi do wskazania izomorfizmów ${\displaystyle U\to K^{n}}$ oraz ${\displaystyle V\to K^{m}}$ w przestrzenie współrzędnych (które są przestrzeniami liniowymi)
• odwrotnie, każda macierz typu ${\displaystyle m\times n}$ opisuje przekształcenie liniowe ${\displaystyle K^{n}\to K^{m},}$ a dzięki wyborom baz również przekształcenie ${\displaystyle U\to V.}$

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest macierzą przekształcenia liniowego ${\displaystyle \mathrm {A} ,}$ a macierz jednokolumnowa ${\displaystyle \mathbf {X} }$ odpowiada wektorowi przestrzeni ${\displaystyle \mathbf {x} }$^{[uwaga 2]}, to:

• działanie przekształcenia liniowego na wektor ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} )}$ opisuje się jako mnożenie macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ przez macierz jednokolumnowa ${\displaystyle \mathbf {X} ,}$ tj. ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {x} )\to \mathbf {AX} ,}$
• składaniu przekształceń liniowych odpowiada mnożenie odpowiadających im macierzy.

W ten sposób ogólna teoria macierzy może być wykorzystana do opisu przekształceń liniowych.

Istnieją jednak dwa zasadnicze powody, dla których rozpatruje się ogólne przekształcenia liniowe zamiast ich macierzy:

• w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru zapis za pomocą macierzy nie ułatwia przeprowadzania konkretnych rachunków, jak ma to miejsce w przypadku skończeniewymiarowym,
• istnieją własności, które łatwiej traktować w bardziej abstrakcyjny sposób, np. dowodząc, iż dana własność nie zależy od wyboru bazy; w szczególności dowodząc, iż istnieją przestrzenie, w których wybór bazy nie jest kanoniczny, tj. nie istnieje naturalny izomorfizm z przestrzenią współrzędnych (lub jej nieskończonym odpowiednikiem, zob. przykłady przestrzeni liniowych).

Endomorfizmy

Zbiór ${\displaystyle \mathrm {End} \ V}$ wszystkich endomorfizmów przestrzeni ${\displaystyle V}$ tworzy pierścień nazywany po prostu pierścieniem endomorfizmów ${\displaystyle V.}$ Do opisu endomorfizmów liniowych, nazywanych niekiedy „operatorami liniowymi”, na przestrzeniach skończonego wymiaru i ich macierzy kwadratowych stosuje się często pojęcia wyznacznika i śladu. Zwykle definiuje się je dla macierzy, dowodząc ich niezależności od wyboru bazy, możliwe jest jednak zdefiniowanie bez wyboru bazy dla przekształceń liniowych, jednak wtedy konieczne jest podanie przepisu na ich obliczenie – wyraża się ją wtedy za pomocą macierzy w ustalonej bazie – odzwierciedla to równoważność obu definicji. Niezmienniczość tych pojęć można tłumaczyć za pomocą podprzestrzeni niezmienniczych, w tym wektorów własnych i stowarzyszonych z nimi wartości własnych, które opisują kierunki zachowywane przez dane przekształcenie liniowe i stosunki jednokładności w tychże kierunkach: wyznacznik jest iloczynem wartości własnych, a ślad – ich sumą. Rząd jest wtedy równy liczbie niezerowych wartości własnych. Jeśli choć jedna wartość własna jest zerowa, to wyznacznik również jest zerowy – przekształcenie (lub macierz) nazywa się wtedy osobliwym (lub zdegenerowanym, a rząd nie jest pełny, skąd przekształcenie nie jest epimorfizmem). Dowodzi się, że osobliwość jest równoważna nieodwracalności.

Twierdzenie o endomorfizmie

Jeśli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru, zaś ${\displaystyle \mathrm {E} \in \mathrm {End} \ V}$ oraz ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ są wszystkimi, parami różnymi wartościami własnymi tego endomorfizmu, to następujące warunki są równoważne:

• ${\displaystyle \mathrm {E} }$ jest endomorfizmem,
• ${\displaystyle V=V(\lambda _{1},\mathrm {E} )\oplus \ldots \oplus V(\lambda _{k},\mathrm {E} ),}$
• ${\displaystyle \dim V=\dim V(\lambda _{1},\mathrm {E} )+\ldots +\dim V(\lambda _{k},\mathrm {E} ),}$

gdzie ${\displaystyle \oplus }$ oznacza sumę prostą przestrzeni liniowych, a ${\displaystyle V(\lambda _{i},\mathrm {E} )}$ jest podprzestrzenią niezmienniczą stowarzyszoną z wartością własną ${\displaystyle \lambda _{i}}$ endomorfizmu ${\displaystyle \mathrm {E} .}$

Z powyższych uwag wynika, że wyznacznik, ślad i rząd są niezmiennikami endomorfizmów. Wszystkie te informacje zawarte są w wielomianie charakterystycznym przekształcenia (bądź macierzy): pierwiastkami tego wielomianu są wartości własne. Środki te okazują się niewystarczające w przypadku nieskończeniewymiarowym, gdzie pojęcia te mają odpowiednie uogólnienia (zob. Wymiar nieskończony).

Endomorfizm ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ nazywa się

• redukowalnym, jeśli istnieje nietrywialna właściwa podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu ${\displaystyle A;}$
• rozkładalnym, jeśli istnieją nietrywialne (właściwe) podprzestrzenie niezmiennicze ${\displaystyle V_{1},V_{2}\subseteq V}$ endomorfizmu ${\displaystyle A,}$ dla których suma prosta ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}=V;}$
• diagonalizowalnym, jeśli istnieją jednowymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}\subseteq V}$ endomorfizmu ${\displaystyle A,}$ dla których suma prosta ${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i=1}^{n}V_{i}=V;}$ diagonalizacją nazywa się wybór tych podprzestrzeni.

Automorfizmy

W ogólności automorfizmy liniowe, czyli odwracalne przekształcenie liniowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (liniowe) zmiany bazy. Ponieważ złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów ${\displaystyle \mathrm {Aut} \ V}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ tworzy grupę nazywaną ogólną lub pełną grupą liniową ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ przestrzeni ${\displaystyle V.}$