Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.
Definicja formalna
Niech oraz będą dowolnymi pierścieniami.
Homomorfizmem pierścieni i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że
Jeżeli i są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się
- – element neutralny mnożenia w jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w [uwaga 1].
Własności
- tzn. element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
- element przeciwny przechodzi w element przeciwny Wynika to z rozumowania:
Obraz
Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obraz homomorfizmu jest podpierścieniem pierścienia
Jądro
Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór
gdzie oznacza zero pierścienia
Jądro homomorfizmu jest ideałem pierścienia
Morfizmy pierścieni
Monomorfizm
Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.
Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza zero pierścienia
Epimorfizm
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm który jest funkcją typu „na”, tzn.
Izomorfizm
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że pierścienie i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Homomorfizm kanoniczny
Niech będzie dowolnym pierścieniem, zaś dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie określone jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia na pierścień ilorazowy
Twierdzenie o homomorfizmie
Jeśli jest epimorfizmem pierścieni to jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (izomorfizmem jest odwzorowanie określone ) oraz gdzie jest homomorfizmem kanonicznym.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia przechodzą na zero pierścienia