Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej[1], a konkretniej rozkład macierzy na iloczyn macierzy
gdzie jest macierzą diagonalną.
Macierz jest nazywana macierzą przejścia.
Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej są równe kolejnym wartościom własnym macierzy z kolei kolumny macierzy stanowią kolejne wektory własne macierzy
Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.
Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.
Zastosowanie
Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:
gdzie:
- gdzie jest macierzą jednostkową stopnia
- są wartościami własnymi macierzy
- jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.
Własności
Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.
W szczególności:
- jeśli jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny w którym jest pewną macierzą ortogonalną,
- jeśli jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny w którym jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,
Jeśli dla pewnej macierzy mamy rozkład diagonalny
wówczas:
- macierze i są podobne,
- iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy jest równy jej wyznacznikowi,
- jeśli jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.
Diagonalizacja Jacobiego
Załóżmy, że jest przestrzenią ortogonalną oraz jest bazą taką, że dla każdego zachodzi (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła przestrzeni w której ma macierz:
- gdzie dla
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Diagonalizacja, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22] .