Diagonalizacja – sprowadzenie macierzy kwadratowej do postaci diagonalnej^[1], a konkretniej rozkład macierzy ${\displaystyle A\in M_{k}(K)}$ na iloczyn macierzy ${\displaystyle P,\Delta ,P^{-1}\in M_{k}(K){:}}$

${\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}$

gdzie ${\displaystyle \Delta }$ jest macierzą diagonalną.

Macierz ${\displaystyle P}$ jest nazywana macierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej ${\displaystyle \Delta }$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy ${\displaystyle A,}$ z kolei kolumny macierzy ${\displaystyle P}$ stanowią kolejne wektory własne macierzy ${\displaystyle A.}$

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(P\Delta P^{-1})^{n}=\overbrace {P\Delta P^{-1}P\Delta P^{-1}\ldots P\Delta P^{-1}} ^{n}\\&=P\Delta ^{n}P^{-1}=P\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})P^{-1},\end{aligned}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle P^{-1}P=I_{k},}$ gdzie ${\displaystyle I_{k}}$ jest macierzą jednostkową stopnia ${\displaystyle k,}$
• ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ są wartościami własnymi macierzy ${\displaystyle A,}$
• ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {diag} (\lambda _{1}^{n}\ldots \lambda _{k}^{n})}$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności

Macierze symetryczne i hermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nich unitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

• jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny ${\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}$ w którym ${\displaystyle P}$ jest pewną macierzą ortogonalną,
• jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny ${\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}$ w którym ${\displaystyle P}$ jest pewną macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,

Jeśli dla pewnej macierzy ${\displaystyle A}$ mamy rozkład diagonalny

${\displaystyle A=P\Delta P^{-1},}$

wówczas:

• macierze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle \Delta }$ są podobne,
• iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy ${\displaystyle A}$ jest równy jej wyznacznikowi,
• jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że ${\displaystyle (V,\xi )}$ jest przestrzenią ortogonalną oraz ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ jest bazą ${\displaystyle V}$ taką, że dla każdego ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}$ zachodzi ${\displaystyle g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})\neq 0}$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła ${\displaystyle (\beta _{1},\dots ,\beta _{n})}$ przestrzeni ${\displaystyle V,}$ w której ${\displaystyle \xi }$ ma macierz:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\Delta _{1}&0&0&0&\ldots &0\\0&{\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{1}}}&0&0&\ldots &0\\0&0&{\frac {\Delta _{3}}{\Delta _{2}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&{\frac {\Delta _{n-1}}{\Delta _{n-2}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {\Delta _{n}}{\Delta _{n-1}}}\end{matrix}}\right],}$ gdzie ${\displaystyle \Delta _{k}=g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})}$ dla ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$

Zobacz też

• postać Jordana

Przypisy