Twierdzenie Kroneckera-Capellego^{[uwaga 1]} – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku)^[1], przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia^[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku^[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach^[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)^[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników^[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych ${\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {B} ,}$ gdzie rząd macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ typu ${\displaystyle m\times n}$ (co oznacza, że ${\displaystyle n}$ jest liczbą niewiadomych, a ${\displaystyle m}$ określa liczbę równań) wynosi ${\displaystyle r,}$ z macierzą rozszerzoną ${\displaystyle \mathbf {U} =[\mathbf {A} |\mathbf {B} ]}$ rzędu ${\displaystyle s.}$ Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle r=s.}$

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od ${\displaystyle n-r}$ parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku ${\displaystyle r=s=n}$ rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od ${\displaystyle n-r}$ parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {0} .}$

Dowód

Niech ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}}$ będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ zaś wektorom kolumnowym ${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {B} }$ odpowiadają wektory ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {b} .}$ Wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x_{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} ,}$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mathbf {b} }$ należy do powłoki liniowej ${\displaystyle \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ tj. ${\displaystyle \dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} ).}$ Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {U} }$ mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też

• twierdzenie o rzędzie
• wzory Cramera

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2 (cz.1).brak strony w książce
• Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Kronecker-Capelli theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].