Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie

Niech będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

Dowód

  • Niech
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej:
  • Wykonując operacje elementarne na macierzy sprowadzimy ją do postaci
Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy przez element drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy:
jest zawsze parzyste, więc
  • Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski

  • Jeżeli jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ oraz to i dalej a stąd Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
  • Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech oraz będą takimi macierzami, wtedy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Cauchy Binet formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.