Pełna grupa liniowa

Dla danego pierścienia ${\displaystyle R}$ zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia ${\displaystyle n}$ jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia ${\displaystyle n}$ nad ${\displaystyle R}$ i oznacza ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R).}$

Odwracalność a nieosobliwość

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień ${\displaystyle R,}$ nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli ${\displaystyle R}$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień ${\displaystyle R}$ nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste ${\displaystyle R}$ i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji ${\displaystyle R^{*},}$ czyli grupie ${\displaystyle R^{*}/[R^{*},R^{*}]}$).

Uwagi

• Macierz jednostkowa ${\displaystyle I}$ jest odwracalna oraz ${\displaystyle I^{-1}=I}$ (wynika wprost z definicji).
• Macierz zerowa ${\displaystyle \Theta }$ jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
• Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech ${\displaystyle A}$ będzie odwracalna, wówczas ${\displaystyle A+(-A)=\Theta .}$
• Dla nieosobliwej macierzy ${\displaystyle A}$ zachodzi równość ${\displaystyle \det A^{-1}={\tfrac {1}{\det A}}.}$

Metoda dopełnień algebraicznych

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy ${\displaystyle A}$ obliczamy następująco:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {A^{D}}{\det A}},}$

gdzie ${\displaystyle A^{D}}$ jest macierzą dołączoną do macierzy ${\displaystyle A}$ (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech ${\displaystyle X\in M_{i\times j}(K),}$ zaś ${\displaystyle Y\in M_{i\times k}(K).}$ Przez ${\displaystyle \left[X|Y\right]\in M_{i\times (j+k)}(K)}$ rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze ${\displaystyle j}$ kolumn jest kolumnami macierzy ${\displaystyle X,}$ a następne ${\displaystyle k}$ kolumn jest kolumnami macierzy ${\displaystyle Y}$ (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do ${\displaystyle A,}$ należy rozwiązać układ równań ${\displaystyle AB=I}$ względem macierzy ${\displaystyle B,}$ która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy ${\displaystyle \left[A|I\right]}$ domnożyć macierz ${\displaystyle B}$ (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz ${\displaystyle \left[AB|IB\right]}$ (lub ${\displaystyle \left[BA|BI\right]}$). Ponieważ ${\displaystyle B=A^{-1}}$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako ${\displaystyle \left[A|I\right]\mapsto \left[I|A^{-1}\right].}$

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy ${\displaystyle B,}$ wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz ${\displaystyle \left[A|I\right]}$ w macierz ${\displaystyle \left[I|A^{-1}\right].}$ Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy ${\displaystyle A}$ w podmacierz jednostkową ${\displaystyle I}$ za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne

• Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:

  ${\displaystyle \operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{-1}=\operatorname {diag} ({\tfrac {1}{\lambda _{1}}},\dots ,{\tfrac {1}{\lambda _{n}}}).}$

• Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej ${\displaystyle Q}$ jest równa jej transpozycji (przestawieniu):

  ${\displaystyle Q^{-1}=Q^{T}.}$

• Macierz odwrotna do macierzy wymiaru ${\displaystyle 2\times 2}$ może być szybko wyznaczona według wzoru

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$