Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.
Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory
a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory
Powyższe wektory wskazują odpowiednio kierunki osi Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich
Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.
Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako
gdzie skalary są składowymi wektora
W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje różnych wektorów bazy standardowej
gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i wszędzie indziej.
Własności
Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.
Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory
są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.
Uogólnienia
Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.
Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny
gdzie jest dowolnym zbiorem, a to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli i równy jedności, jeśli Rodzina ta jest bazą kanoniczną -modułu (modułu wolnego) wszystkich rodzin z w pierścień które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że to czyli jedność w
Inne
Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.
Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.
Zobacz też
Bibliografia
- Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0-521-27635-7.
- Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1-55860-594-0.