Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe

Ciało ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci

${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {K} ^{n}}$

norma ta dana jest wzorem

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}.}$

Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

${\displaystyle \|x\|_{\max }=\max _{1\leqslant i\leqslant n}|x_{i}|.}$

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

• Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
• Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych

Przestrzeń ${\displaystyle C(\Omega ),}$ wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle \Omega }$ z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon \,x\in \Omega \}.}$

Ważnymi przykładami takich przestrzeni są ${\displaystyle C[0,1]}$ (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy ${\displaystyle C[0,\omega _{1}]}$ (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej ${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$ z topologią porządkową).

Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń ${\displaystyle C(\Omega ,Y)}$ wszystkich funkcji ciągłych ${\displaystyle f\colon \Omega \to Y}$ z normą

${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|\colon \,x\in \Omega \}}$

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{\infty },}$ ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle c_{0}}$

Przestrzeń zwartą ${\displaystyle \Omega }$ powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem ${\displaystyle A,}$ wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór ${\displaystyle A}$ nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji ${\displaystyle f\colon A\to Y}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle \ell _{\infty }(A,Y).}$ Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy ${\displaystyle Y}$ jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez ${\displaystyle \ell _{\infty }(A)}$ bądź nawet ${\displaystyle \ell _{\infty },}$ gdy ${\displaystyle A}$ jest zbiorem liczb naturalnych.

Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle C(\beta \mathbb {N} )}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle \beta \mathbb {N} ,}$ tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle c_{0}}$ ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$ Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest jednak domknięta:

Przestrzenie ${\displaystyle L_{p},}$ przestrzenie Lorentza

Dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ oraz dowolnej przestrzeni z miarą (${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \mu }$) przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ funkcji całkowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze na ${\displaystyle \Omega }$ jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}(\Gamma )}$ ciągów sumowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze na zbiorze ${\displaystyle \Gamma .}$ Ogólniej, przestrzenie Lorentza ${\displaystyle L_{p,q}}$ i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

Baza przestrzeni Banacha

Niech ${\displaystyle X}$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu ${\displaystyle x\in X}$ istnieje taki ciąg skalarów ${\displaystyle (a_{n}),}$ że

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}.}$

Jeśli istnieje baza przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

${\displaystyle {\overline {\text{lin}}}\{e_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}=X.}$

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).

Baza Schaudera

Niech ${\displaystyle (e_{n})}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Jeśli istnieje taki ciąg ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ elementów przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*},}$ że

1. ${\displaystyle \langle e_{k}^{*},e_{j}\rangle =0}$ dla ${\displaystyle k\neq j}$ oraz ${\displaystyle \langle e_{k}^{*},e_{k}\rangle =1}$ dla ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$
2. każdy element ${\displaystyle x\in X}$ można przedstawić jednoznacznie w postaci

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\langle e_{n}^{*},x\rangle e_{n},}$

to ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni ${\displaystyle X}$ natomiast ciąg ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z ${\displaystyle (e_{n}).}$

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie, ponieważ obie definicje są równoważne w klasie przestrzeni Banacha – ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ jest bazą przestrzeni ${\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równoważne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Wymiar Hamela

Baza Schaudera przestrzeni Banacha (o ile istnieje) nie jest bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc – wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum^[4][5].