Równanie ogólne

W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:

Dla pewnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle A,B,C,}$ przy czym ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność^[13]:

${\displaystyle Ax+By+C=0.}$

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych ${\displaystyle [-B,A]}$ jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor ${\displaystyle [A,B]}$ jest prostopadły do prostej. Jeśli ${\displaystyle A=0,}$ to prosta jest równoległa do osi ${\displaystyle Ox,}$ jeśli ${\displaystyle B=0}$ – do osi ${\displaystyle Oy,}$ jeśli ${\displaystyle C=0,}$ przechodzi przez początek układu współrzędnych^[13].

Współczynniki ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla ${\displaystyle C=0}$ całą płaszczyznę, a dla ${\displaystyle C\neq 0}$ zbiór pusty (nie ma rozwiązań).

Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$

lub jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)

Równanie normalne

Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej^[14]:

${\displaystyle {\begin{cases}A'=A\mu \\B'=B\mu \\C'=C\mu \end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ to tzw. czynnik normujący:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$ dla ${\displaystyle C<0}$

lub

${\displaystyle \mu ={\frac {-1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$ dla ${\displaystyle C>0.}$

Dla ${\displaystyle C=0}$ można przyjąć dowolny znak.

Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem ${\displaystyle \alpha }$ do osi ${\displaystyle Oy}$ i odległej o ${\displaystyle p}$ od środka układu współrzędnych:

${\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0,}$

przy czym ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <2\pi .}$

Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle C}$ jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.

Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny

Równanie w postaci kierunkowej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej^[13]:

${\displaystyle y=ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ to liczby rzeczywiste.

• ${\displaystyle a,}$ tzw. współczynnik kierunkowy, jest równy tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX) nazywanego kątem nachylenia prostej^[13][15]. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą ${\displaystyle m.}$ Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.
• ${\displaystyle b,}$ tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.

Równanie parametryczne

Prosta ${\displaystyle l}$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym ${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha }}=[u_{1},u_{2}],}$ przechodząca przez punkt ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}$ to zbiór punktów ${\displaystyle P=(x,y),}$ takich że

${\displaystyle P=A+t{\overrightarrow {\alpha }}}$ dla dowolnych ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$

Innymi słowy:

${\displaystyle l=\{A+t{\overrightarrow {\alpha }}\colon t\in \mathbb {R} \}.}$

W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to:

${\displaystyle l=A+{\text{lin}}({\overrightarrow {\alpha }}).}$

Rozpisując poszczególne składowe, możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{A}+tu_{1}\\y=y_{A}+tu_{2}\end{cases}}.}$

Przy tym ${\displaystyle x_{A}}$ i ${\displaystyle y_{A}}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast ${\displaystyle u_{1}}$ i ${\displaystyle u_{2}}$ są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt ${\displaystyle A,}$ a nie całą prostą.

Równanie kanoniczne

Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą ${\displaystyle l}$ można opisać równaniem:

${\displaystyle l\colon {\frac {x-x_{A}}{u_{1}}}={\frac {y-y_{A}}{u_{2}}}.}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle u_{1}}$ lub ${\displaystyle u_{2}}$ jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:

${\displaystyle (x-x_{A})u_{2}=(y-y_{A})u_{1}.}$

Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa różne punkty ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ i ${\displaystyle (x_{B},y_{B}),}$ to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci^[13]:

${\displaystyle (y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0}$

lub w wersji parametrycznej:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})\\y=y_{A}+t(y_{B}-y_{A})\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle t}$ przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.

To samo równanie można przedstawić w postaci wyznacznika:

Parametry równania odcinkowego prostej

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Dla równania ogólnego: ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ będziemy mieli

${\displaystyle {\begin{cases}A=y_{B}-y_{A}\\B=x_{A}-x_{B}\\C=x_{B}\cdot y_{A}-x_{A}\cdot y_{B}\end{cases}}.}$

Sprawdzenie, czy punkt (x,y) leży na linii

Dla równania ogólnego należy po prostu sprawdzić, czy ${\displaystyle A\cdot x+B\cdot y+C=0,}$ a w praktyce ${\displaystyle \left|A\cdot x+B\cdot y+C\right|<\epsilon .}$

Sprawdzenie równoległości albo punktu przecinania się dwóch linii

Dostajemy albo wyliczamy postać normalną: ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\ \ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,}$
Liczymy mianownik ${\displaystyle D=A_{1}*B_{2}-A_{2}*B_{1}.}$

Jeśli ${\displaystyle D=0}$ albo w praktyce ${\displaystyle \left|D\right|<\epsilon }$ linie są równoległe.
Jeśli linie nie są równoległe, liczymy punkt przecięcia (x,y):

${\displaystyle {\begin{cases}x=(B_{1}\cdot C_{2}-B_{2}\cdot C_{1})/D\\y=-(A1\cdot C2-A2\cdot C1)/D\end{cases}}.}$

Linia równoległa przechodząca przez zadany punkt

Dla linii ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ jest ${\displaystyle Ax+By+C_{1}=0}$ z identycznymi A i B oraz C wyliczonym ze wzoru ${\displaystyle C=-(A\cdot x+B\cdot y).}$

Równanie odcinkowe

Równanie prostej przecinającej oś ${\displaystyle Ox}$ w punkcie ${\displaystyle (a,0),}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0}$ i oś ${\displaystyle Oy}$ w punkcie ${\displaystyle (0,b),}$ gdzie ${\displaystyle b\neq 0{:}}$

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.}$

Postać biegunowa równania

Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych ${\displaystyle (\varphi ,r).}$ Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać

${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\varphi -\alpha )}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle p}$ jest odległością prostej od bieguna,
• ${\displaystyle \alpha }$ to kąt między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej prostej,
• ${\displaystyle r}$ jest współrzędną punktu prostej – odległością od bieguna,
• ${\displaystyle \varphi }$ jest współrzędną punktu prostej – kątem między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna do danego punktu.

Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać ${\displaystyle \phi =\alpha +k\pi ,}$ gdzie:

• ${\displaystyle \alpha }$ to kąt między osią biegunową a prostą,
• ${\displaystyle k}$ jest dowolną liczbą całkowitą,
• ${\displaystyle r}$ – odległość od bieguna – może być wówczas dowolna.

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu ${\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}$ od prostej danej równaniem ogólnym^[13]:

${\displaystyle d={\frac {|Ax_{P}+By_{P}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Odległość punktu ${\displaystyle P}$ od prostej danej równaniem normalnym:

${\displaystyle d=|x_{P}\cos \alpha +y_{P}\sin \alpha -p|.}$

Wyrażenie ${\displaystyle x_{P}\cos \alpha +y_{P}\sin \alpha -p}$ ma wartość dodatnią, gdy punkt ${\displaystyle P}$ oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie, i zero, jeśli ${\displaystyle P}$ leży na prostej.

Wzajemne położenie na płaszczyźnie

Dla prostych ${\displaystyle k,l}$ danych równaniami

${\displaystyle k\colon A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;l\colon A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

niech:

${\displaystyle W_{AB}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1},}$

${\displaystyle W_{BC}={\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}=B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1},}$

${\displaystyle W_{CA}={\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}=C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}.}$

Jeśli ${\displaystyle W_{AB}\neq 0,}$ wówczas proste ${\displaystyle k,l}$ przecinają się w punkcie

${\displaystyle \left({\frac {W_{BC}}{W_{AB}}},{\frac {W_{CA}}{W_{AB}}}\right).}$

Jeśli ${\displaystyle W_{AB}=0,}$ ale ${\displaystyle W_{BC}\neq 0}$ to zachodzi także ${\displaystyle W_{CA}\neq 0}$ i proste ${\displaystyle k,l}$ są równoległe.

Jeśli ${\displaystyle W_{AB}=W_{BC}=0,}$ to również ${\displaystyle W_{CA}=0}$ i proste pokrywają się ${\displaystyle (k=l)}$ (równania opisują ten sam zbiór punktów); współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$

lub jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

Kąt między dwiema prostymi

Kąt pomiędzy dwiema prostymi jest wyznaczony przez półproste, których początek znajduje się w punkcie przecięcia prostych.

Kąt ${\displaystyle \varphi }$ między prostymi na płaszczyźnie, zadanymi równaniami

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\ \ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,}$

daje się wyznaczyć ze wzorów

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}},}$

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}.}$

Wzory te upraszczają się, jeśli równania prostych są unormowane.

Można też użyć wzorów dla dwóch szczególnych przypadków:

• jeśli ${\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0,}$ to proste są równoległe,
• jeśli ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0,}$ to są prostopadłe.

Zobacz też uogólnienia: kąt między dwiema krzywymi, kąt między prostymi w przestrzeni.

Trzy punkty na prostej

Trzy punkty ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2}),\ (x_{3},y_{3})}$ leżą na jednej prostej (są współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Inny warunek konieczny i wystarczający współliniowości:

${\displaystyle {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}$

(lub jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem).

Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

Jeśli proste o równaniach odpowiednio:

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$

${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

przecinają się w punkcie ${\displaystyle P,}$ to prosta o równaniu

${\displaystyle A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0,}$

także przecina się z nimi w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Pęki prostych

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci:

${\displaystyle t_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})+t_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0,}$ gdzie ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} }$ spełniają warunek ${\displaystyle t_{1}^{2}+t_{2}^{2}>0.}$

Każda prosta przechodząca przez środek pęku (będąca współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) da się przedstawić powyższym równaniem i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamy kierunkiem albo niewłaściwym pękiem prostych.

Równanie parametryczne

W przestrzeni kartezjańskiej n-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.

W tym ujęciu prosta ${\displaystyle l}$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym ${\displaystyle {\overrightarrow {\alpha }}=[u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}],}$ przechodząca przez punkt ${\displaystyle A=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ to zbiór punktów ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ takich, że

${\displaystyle P=A+t{\overrightarrow {\alpha }},}$ dla dowolnych ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to ${\displaystyle l=A+\operatorname {lin} ({\overrightarrow {\alpha }}).}$

Rozpisując poszczególne składowe, możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=a_{1}+tu_{1}\\x_{2}=a_{2}+tu_{2}\\\vdots \\x_{n}=a_{n}+tu_{n}\end{cases}}.}$

Przy tym ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Inaczej bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.

Równań w tym układzie jest ${\displaystyle n,}$ a nie ${\displaystyle n-1,}$ jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadzono kolejną zmienną ${\displaystyle t,}$ a więc konieczne jest n-te równanie, aby otrzymać prostą, a nie płaszczyznę.

Równania ogólne

Prosta w n-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólna ${\displaystyle n-1}$ hiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóch płaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\ldots +a_{1,n}x_{n}=D_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\ldots +a_{2,n}x_{n}=D_{2}\\\vdots \\a_{n-1,1}x_{1}+a_{n-1,2}x_{2}+\ldots +a_{n-1,n}x_{n}=D_{n-1}\end{cases}},}$

co w postaci macierzowej można zapisać jako

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\ldots &a_{n-1,n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{1}\\D_{2}\\\vdots \\D_{n-1}\end{bmatrix}}.}$

Układ ten opisuje prostą wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

${\displaystyle {\text{r}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\ldots &a_{n-1,n}\end{bmatrix}}=n-1.}$

Równania kanoniczne

Prostą przechodzącą przez punkt ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ i równoległą do wektora kierunkowego ${\displaystyle {\vec {u}}=[u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}]}$ określają równania:

${\displaystyle {\frac {x_{1}-p_{1}}{u_{1}}}={\frac {x_{2}-p_{2}}{u_{2}}}=\ldots ={\frac {x_{n}-p_{n}}{u_{n}}}.}$

W przypadku ${\displaystyle n=3}$ to równanie można zapisać w postaci wektorowej:

${\displaystyle ({\vec {r}}_{x}-{\vec {r}}_{P})\times {\vec {u}}={\vec {0}},}$

gdzie wektor wodzący ${\displaystyle {\vec {r}}_{x}=[x_{1},x_{2},x_{3}]}$ i analogicznie ${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=[p_{1},p_{2},p_{3}];}$ symbolem ${\displaystyle \times }$ oznaczono iloczyn wektorowy.

Można też te równania interpretować jako określające prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłej do hiperpłaszczyzny danej równaniem ${\displaystyle u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+\ldots +u_{n}x_{n}+D=0.}$

Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa punkty ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ i ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$ to równania prostej przechodzącej przez te punkty są postaci:

${\displaystyle {\frac {x_{1}-a_{1}}{b_{1}-a_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{b_{2}-a_{2}}}=\ldots ={\frac {x_{n}-a_{n}}{b_{n}-a_{n}}}.}$

Kąt między prostymi w przestrzeni

Kąt ${\displaystyle \varphi }$ między dwiema przecinającymi się prostymi, danymi za pomocą równań w postaci parametrycznej

${\displaystyle {\vec {r}}_{x}={\vec {r}}_{A}+t{\vec {u}}_{A},\ t\in \mathbb {R} }$

oraz

${\displaystyle {\vec {r}}_{x}={\vec {r}}_{B}+t{\vec {u}}_{B},\ t\in \mathbb {R} ,}$

wyraża wzór:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {{\vec {u}}_{A}{\vec {u}}_{B}}{\|{\vec {u}}_{A}\|\cdot \|{\vec {u}}_{B}\|}}.}$

Symbol ${\displaystyle \|\cdot \|}$ oznacza normę (długość wektora), ${\displaystyle {\vec {u}}_{A}{\vec {u}}_{B}}$ oznacza iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle {\vec {u}}_{A}}$ i ${\displaystyle {\vec {u}}_{B}.}$

Jeśli proste nie przecinają się, wzór pokazuje kąt między prostymi po ich przesunięciu bez zmiany kierunków tak, aby się przecinały.

Jeśli proste przedstawimy w postaci parametrycznej: ${\displaystyle l_{1}=P_{1}+\operatorname {lin} ({\overrightarrow {\alpha }}_{1}),}$ ${\displaystyle l_{2}=P_{2}+\operatorname {lin} ({\overrightarrow {\alpha }}_{2}),}$ to miara kąta ${\displaystyle \varphi }$ między tymi prostymi wyraża się wzorem

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {{\overrightarrow {\alpha }}_{1}{\overrightarrow {\alpha }}_{2}}{\|{\overrightarrow {\alpha }}_{1}\|\cdot \|{\overrightarrow {\alpha }}_{2}\|}}.}$

Kąt między prostą a płaszczyzną