Sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach[1]. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.
Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt
Dla danego punktu i okręgu dla każdej siecznej przechodzącej przez i przecinającej w punktach i wartość wyrażenia jest ta sama[2]. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych[2].
Dowód
Dla na zewnątrz okręgu
Poprowadźmy z punktu styczną i sieczną okręgu Punkt styczności nazwijmy a punkty przecięcia z sieczną i gdzie Kąt jest kątem wpisanym opartym na cięciwie więc przystaje do kąta dopisanego Trójkąty i mają wspólny kąt a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.
Wobec tego prawdą jest, że:
Po wymnożeniu obustronnie przez otrzymujemy
Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej a jest stałe, to też musi być stałe, co kończy dowód.
Dla wewnątrz okręgu
Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:
co było do udowodnienia.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ sieczna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-04] .
- 1 2 Jacek Człapiński, Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-19].