Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja

Jeżeli ${\displaystyle f}$ odwzorowuje ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle Y,}$ to ${\displaystyle f^{-1}}$ odwzorowuje ${\displaystyle Y}$ na ${\displaystyle X.}$

Funkcję ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazywamy odwracalną w ${\displaystyle Y,}$ gdy istnieje funkcja ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ taka, że:

${\displaystyle g{\big (}f(x){\big )}=x}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle f{\big (}g(y){\big )}=y}$ dla każdego ${\displaystyle y\in Y.}$

Innymi słowy ${\displaystyle g}$ jest taką funkcją, że złożenia ${\displaystyle g\circ f}$ oraz ${\displaystyle f\circ g}$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y.}$ Funkcję ${\displaystyle g}$ nazywamy funkcją odwrotną do ${\displaystyle f}$ i oznaczamy symbolem ${\displaystyle f^{-1}.}$

Bezpośrednio z definicji wynika, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją odwracalną w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ nie należy mylić z symbolem ${\displaystyle {\big (}f(x){\big )}^{-1}={\tfrac {1}{f(x)}}.}$

Istnienie

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej ${\displaystyle g}$ do danej ${\displaystyle f}$ polega na rozwiązaniu równania

${\displaystyle y=f(x)}$

względem niewiadomej ${\displaystyle x.}$ Rozwiązanie, czyli

${\displaystyle x=g(y),}$

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady

Funkcja ${\displaystyle f}$ ma odwrotną ${\displaystyle f^{-1};}$ ponieważ ${\displaystyle f}$ odwzorowuje ${\displaystyle a}$ na 3, to ${\displaystyle f^{-1}}$ przekształca 3 w ${\displaystyle a.}$

• Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL^[1])
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
• Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem ${\displaystyle y(x)=3x}$ jest funkcja ${\displaystyle x(y)={\tfrac {y}{3}}.}$
• Funkcja ${\displaystyle f(n)=n^{2}}$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że ${\displaystyle f(1)=f(-1)=1}$ (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem ${\displaystyle g(n)={\sqrt {n}}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ nie jest funkcją odwrotną do funkcji ${\displaystyle f.}$
• Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem ${\displaystyle h(x)={\tfrac {1}{x}}}$ dla ${\displaystyle x\neq 0}$ jest ona sama, tzn. ${\displaystyle h^{-1}(x)={\tfrac {1}{x}}}$ (zob. Inwolucje).

Własności

Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do ${\displaystyle g\circ f}$ jest ${\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle f{:}}$ aby odwrócić działanie ${\displaystyle g}$ następującego po ${\displaystyle f}$ należy najpierw odwrócić ${\displaystyle f,}$ a następnie odwrócić ${\displaystyle g.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Inverse Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Inverse function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].