Przykład funkcji częściowej.

Jedno z przedłużeń funkcji częściowej z poprzedniej ilustracji.

Funkcja częściowa z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ – funkcja ${\displaystyle f\colon X'\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle X'}$ jest podzbiorem ${\displaystyle X}$^[1].

Funkcję częściową z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ oznacza się ${\displaystyle f\colon X\nrightarrow Y.}$

Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby ${\displaystyle f}$ odwzorowywało każdy element zbioru ${\displaystyle X}$ na element zbioru ${\displaystyle Y}$ (lecz elementy pewnego podzbioru ${\displaystyle X'}$ zbioru ${\displaystyle X}$). Jeśli ${\displaystyle X'=X,}$ to ${\displaystyle f}$ nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, ${\displaystyle X',}$ nie jest znana.

Dla funkcji częściowej ${\displaystyle f}$ dla każdego elementu ${\displaystyle x\in X,}$ albo:

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$ (${\displaystyle y}$ jest jedynym takim elementem ${\displaystyle Y}$) albo
• ${\displaystyle f(x)}$ jest niezdefiniowana.

Jeśli dla funkcji częściowej ${\displaystyle f}$ istnieje taka funkcja ${\displaystyle g\colon X\to Y,}$ że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle X'}$ zachodzi równość ${\displaystyle f(x)=g(x),}$ to funkcję ${\displaystyle g}$ nazywamy przedłużeniem funkcji ${\displaystyle f.}$ Mówimy wtedy, że funkcja ${\displaystyle f}$ jest funkcją częściową funkcji ${\displaystyle g}$^[1]. Funkcję częściową ${\displaystyle f}$ funkcji ${\displaystyle g}$ oznaczamy wtedy symbolem ${\displaystyle g|X'.}$

Dziedzina funkcji częściowej

Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina ${\displaystyle f}$ dla zbioru wszystkich wartości ${\displaystyle x,}$ dla których ${\displaystyle f(x)}$ jest zdefiniowana (${\displaystyle X'}$ w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej ${\displaystyle f\colon X'\to Y}$ zbiór ${\displaystyle X,}$ i nazywa zbiór ${\displaystyle X'}$ dziedziną definicji.

Własności

• Jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją częściową funkcji ${\displaystyle g,}$ to ${\displaystyle f\subset g}$ (jako podzbiory ${\displaystyle X\times Y}$).
• Każdą funkcję częściową ${\displaystyle f}$ można przedłużyć do pewnej funkcji ${\displaystyle g,}$ na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element ${\displaystyle y_{0}}$ zbioru ${\displaystyle Y}$ i przyjmijmy:

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x),&{\text{gdy }}x\in X'\\y_{0},&{\text{gdy }}x\in X\setminus X'\end{cases}}}$

• Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
• Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
• Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..

Przykłady

• Rozpatrzmy pierwiastek kwadratowy ograniczony do liczb całkowitych: ${\displaystyle g\colon \mathbb {Z} \nrightarrow \mathbb {Z} ,\ g(n):={\sqrt {n}}.}$

Wtedy ${\displaystyle g(n)}$ jest zdefiniowana dla tych liczb ${\displaystyle n,}$ które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego ${\displaystyle g(25)=5,}$ lecz ${\displaystyle g(26)}$ jest niezdefiniowana.

• Logarytm zmiennej zespolonej ${\displaystyle \ln$ :\mathbb {C} \nrightarrow \mathbb {C} } jest funkcją częściową o dziedzinie ${\displaystyle \{z=re^{i\varphi }\colon \;r>0,-\pi <\varphi <\pi \},}$ czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnich^[2].

Przypisy

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• B. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985. (ros.).