Funkcja częściowa z do – funkcja gdzie jest podzbiorem [1].
Funkcję częściową z do oznacza się
Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby odwzorowywało każdy element zbioru na element zbioru (lecz elementy pewnego podzbioru zbioru ). Jeśli to nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, nie jest znana.
Dla funkcji częściowej dla każdego elementu albo:
- ( jest jedynym takim elementem ) albo
- jest niezdefiniowana.
Jeśli dla funkcji częściowej istnieje taka funkcja że dla każdego elementu zbioru zachodzi równość to funkcję nazywamy przedłużeniem funkcji Mówimy wtedy, że funkcja jest funkcją częściową funkcji [1]. Funkcję częściową funkcji oznaczamy wtedy symbolem
Dziedzina funkcji częściowej
Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina dla zbioru wszystkich wartości dla których jest zdefiniowana ( w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej zbiór i nazywa zbiór dziedziną definicji.
Własności
- Jeśli jest funkcją częściową funkcji to (jako podzbiory ).
- Każdą funkcję częściową można przedłużyć do pewnej funkcji na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element zbioru i przyjmijmy:
- Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
- Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
- Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..
Przykłady
- Rozpatrzmy pierwiastek kwadratowy ograniczony do liczb całkowitych:
- Wtedy jest zdefiniowana dla tych liczb które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego lecz jest niezdefiniowana.
- Logarytm zmiennej zespolonej jest funkcją częściową o dziedzinie czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnich[2].
Przypisy
- 1 2 Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 83.
- ↑ Szabat 1985 ↓, s. 180–181.
Bibliografia
- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
- B. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985. (ros.).