Nieporządek – permutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).
Liczbę nieporządków danego n-elementowego zbioru oznacza się symbolem podsilni !n, n¡ lub (zwanej również „dolną silnią”)[1].
Problem zliczania nieporządków był rozważany przez Pierre’a Rémonda de Montmorta w 1708[2][3] ; podał on rozwiązanie w 1713, równolegle z Nicolausem Bernoullim. Stąd też innym określeniem nieporządków jest „liczby de Montmorta”.
Przykład
Nauczyciel rozdał czterem uczniom – A, B, C i D – sprawdziany i poprosił, aby sami ocenili swoje prace. Oczywiście żaden uczeń nie powinien oceniać swojego własnego testu. Na ile sposobów nauczyciel może rozdać sprawdziany, aby żaden uczeń nie dostał swojego? Z 24 permutacji (4!) zbioru czteroelementowego tylko 9 jest nieporządkami:
- BADC, BCDA, BDAC,
- CADB, CDAB, CDBA,
- DABC, DCAB, DCBA.
W każdym innym przypadku przynajmniej jeden uczeń otrzyma swój własny sprawdzian.
Zliczanie nieporządków
Wykorzystajmy przykład, aby odnaleźć liczbę nieporządków zbioru n-elementowego. Przypuśćmy, że mamy teraz n uczniów oraz n sprawdzianów, oznaczonych od 1 do n. Chcemy policzyć, na ile sposobów możemy rozdać każdej osobie jeden sprawdzian, tak aby żaden uczeń nie otrzymał swojego sprawdzianu. Załóżmy, że pierwszy uczeń otrzymał sprawdzian o numerze . Możliwe są dwie sytuacje:
- Uczeń o numerze i nie otrzymał sprawdzianu numer 1. Rozdanie sprawdzianów o numerach innych niż i sprowadza się do problemu z uczniami i sprawdzianami: każda z pozostałych osób ma jeden niedozwolony numer sprawdzianu (uczniowi o numerze i nie wolno wziąć sprawdzianu o numerze 1),
- Uczeń o numerze i dostał sprawdzian numer 1. Ten przypadek redukuje się do problemu dla osób i sprawdzianów (każda z osób poza uczniami 1 oraz i nie może dostać tylko swojego sprawdzianiu).
Stąd dla każdej z możliwości dla pierwszego sprawdzianu pozostałe możemy rozdać na sposobów. To daje równanie rekurencyjne
przy warunkach początkowych !0 = 1 i !1 = 0.
Identyczna formuła rekurencyjna występuje dla silni (z innymi warunkami startowymi): mamy 0! = 1, 1! = 1 oraz
Podobieństwo to wykorzystuje się do udowadniania związków liczby nieporządków z liczbą e.
Do wyprowadzenia wzoru jawnego używa się zasady włączeń i wyłączeń[4] :
Dowodzi się również poniższe wzory[1][5] :
gdzie jest funkcją podłogi, a zaokrągleniem do najbliższej liczby całkowitej.
Zachodzą również następujące zależności rekurencyjne[6] :
Poczynając od n = 0, liczba nieporządków zbioru n-elementowego wynosi:
- 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... (ciąg A000166 w OEIS).
Są to kolejne wartości podsilni oraz problemu permutacji z 0 punktami stałymi (patrz niżej).
Granica stosunku nieporządków do permutacji zbioru n-elementowego
Używając powyższych rekurencji, można pokazać[1], że
Jest to granica prawdopodobieństw pn = dn/n! zdarzeń polegających na tym, że losowo wybrana permutacja zbioru o n elementach jest nieporządkiem. Prawdopodobieństwo to szybko zmierza do stałej granicy, w miarę jak wartości n rosną. Powyższy wykres pokazuje, że krzywa reprezentująca liczbę nieporządków jest przesunięta od krzywej liczby permutacji o mniej więcej stałą wartość.
Przywołując wcześniejszy przykład losowego rozdawania do poprawy sprawdzianów uczniom wnioskujemy, że prawdopodobieństwo, że jakiś uczeń natrafi na swój własny sprawdzian wynosi około 63% i nie zmienia się to wraz ze wzrostem ilości uczniów.
Uogólnienia
Problem nieporządków można rozszerzyć na pytanie o liczbę permutacji zbioru n-elementowego o dokładnie k punktach stałych.
Nieporządki są przykładem znacznie większej klasy permutacji o pewnych narzuconych ograniczeniach. Problem par małżeńskich zadaje pytanie, na ile sposobów dookoła okrągłego stołu można rozmieścić n par małżeńskich, tak, by osoby przeciwnej płci siedziały na zmianę, a żadna osoba nie siedziała obok swojego współmałżonka.
Przypisy
Bibliografia
- Zbigniew Bobiński, Lev Kourliandtchik, Mirosław Uscki: Miniatury matematyczne. Elementarne metody w kombinatoryce. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2002, s. 16–17. ISBN 83-87329-35-5.
- Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 223–229. ISBN 978-83-01-14764-8.
- Mehdi Hassani. Derangements and Applications. „Journal of Integer Sequences”. 6 (03.1.2), s. 1–8, 2003.
- Pierre Rémond de Montmort: Essay d’analyse sur les jeux de hazard. Paryż: Jacque Quillau, 1708.
- Pierre Rémond de Montmort: Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paryż: Jacque Quillau, 1713.
Linki zewnętrzne
- (ciąg A000166 w OEIS)
- Derangement (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].