Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą [2].
Definicja
Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Granica ciągu
Jako granica ciągu, jest określana przez
- Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
(1) |
Rozważając oraz otrzymujemy
a stąd
- więc również i
Czyli ciąg jest niemalejący.
Podłóżmy i zauważmy, że
Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:
Stąd a więc też
Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować, że ciąg jest nierosnący, a stąd
Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.
Suma szeregu
Jako suma szeregu, jest określana przez
gdzie jest silnią liczby
Za pomocą całki
Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
(to znaczy, że liczba to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do jest równe 1).
Za pomocą funkcji
Liczbę można również zdefiniować jako taki argument funkcji
dla którego jej wartość jest największa.
Własności
- jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”[3] - prosty dowód opublikował Adolf Hurwitz w 1894[4]).
- jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji
- całka funkcji gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
- Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:
Wzory na obliczenie e
Granice ciągów
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
gdzie to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru –elementowego, algebraicznie zaś jako
Szeregi nieskończone
Iloczyny nieskończone
W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[5][6]
gdzie n!!, to silnia podwójna.
Kultura e
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
- Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Inne interpretacje liczby e
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.
Dowód niewymierności e
Używamy -tego przybliżenia które zapisujemy
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od
Wówczas:
Mnożąc stronami przez dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ e, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
- ↑ A. Hurwitz, 1894, Dowód przestępności liczby e., Prace Matematyczno-Fizyczne, 5(1), 6–8., pdf
- ↑ Eric W. Weisstein , Pippenger Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2013-02-27] (ang.).
- ↑ Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980. (ang.).
Bibliografia
- Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989. ISBN 978-83-204-3364-7.
Linki zewnętrzne
- Karol Gryszka , Stała Eulera w trójkącie Pascala, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] (pol.).
- Eric W. Weisstein , e, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- e w rozwinięciu (ang.)