Masa to przykład funkcji o wartościach rzeczywistych.

Prawdopodobieństwo formalizuje się jako rodzaj funkcji o wartościach rzeczywistych.

Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych^[1]; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: f:X→Y, Y⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest:

• węższe; wymaga się niekiedy, aby także dziedzina funkcji była podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych (X⊆ℝ)^[2][3];
• szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, tj. dopuszcza się wartości nieskończone (∞, ±∞)^[4] .

Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej, choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach:

• ciągi liczb rzeczywistych bada między innymi rachunek różnicowy, wykraczający poza analizę do matematyki dyskretnej;
• rzeczywiste wielomiany to klasyczny temat badań algebry, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez algebrę liniową;
• metryka czy wymiar stanowią pojęcia topologiczne, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. teorii grafów;
• pojęcia jak długość krzywej, pole powierzchni czy objętość dotyczą nie tylko analizy, ale i geometrii, tak jak miara kąta;
• formalnie funkcją rzeczywistą jest też moc zbioru skończonego – centralne pojęcie kombinatoryki;
• przykładem funkcji rzeczywistej jest prawdopodobieństwo.

Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznej są wielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny.

Podtypy i problemy

Wykres przykładowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych

Funkcja rzeczywista może być określona w sposób jawny lub uwikłany. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, funkcje o wartościach rzeczywistych można podzielić na ograniczone i nieograniczone oraz wyróżniać ekstrema globalne. Zagadnieniom tego typu są poświęcone całe dyscypliny matematyczne jak rachunek wariacyjny.

Jeśli dziedzina jest wyposażona w dodatkowe struktury, to dla takich funkcji można definiować dalsze pojęcia i wyróżniać szczególne klasy:

• częściowy porządek prowadzi do zagadnienia monotoniczności oraz ekstremów lokalnych;
• topologia również pozwala definiować ekstrema lokalne, a także ciągłość i własność Darboux;
• funkcje rzeczywiste na rozmaitościach stanowią przykład pól skalarnych, przez co są badane przez teorię pola, w tym teorię potencjału;
• funkcje na magmach mogą być okresowe, te na grupach także parzyste lub nieparzyste, a te na przestrzeniach liniowych mogą być formami (funkcjonałami) i mogą być wypukłe lub wklęsłe;
• struktura liniowo-topologiczna umożliwia wprowadzenie pochodnej i różniczki. Dostarcza to narzędzi poszukiwania ekstremów, ponieważ należą one do punktów krytycznych;
• funkcje działające z przestrzeni mierzalnej można czasem całkować.

Funkcje rzeczywiste same bywają używane do definiowania pewnych struktur, np. przestrzeni metrycznych i pseudometrycznych.

Rozwinięto teorie równań funkcyjnych – zwłaszcza różniczkowych i różnicowych – w których niewiadomymi są funkcje rzeczywiste. Równania takie można rozwiązywać w sposób przybliżony, rozważając ciągi funkcyjne; dzieje się tak, ponieważ funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą przestrzeń topologiczną, przez co wśród ciągów takich funkcji można wyróżnić te zbieżne. Wszystkie funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą także przestrzeń liniową, a konkretniej liniowo-topologiczną. Przez to takie przestrzenie funkcyjne należą do obszaru badań analizy funkcjonalnej.

Przypadek zmiennej rzeczywistej

Rozkład Gaussa – przykład często używanej, przestępnej funkcji elementarnej

Funkcja dzeta Riemanna w dziedzinie rzeczywistej

Do funkcji tego rodzaju stosują się wszystkie powyższe koncepcje i niektóre dodatkowe zagadnienia, np. szczególne rodzaje nieciągłości i punkty przegięcia. Oprócz tego:

• jeśli dziedzina i przeciwdziedzina przecinają się (X∩Y≠∅), to mogą występować punkty stałe i zbiory niezmiennicze;
• jeśli dziedzina i przeciwdziedzina pokrywają się (X=Y), to mogą występować punkty okresowe, a funkcja może być idempotentna lub inwolutywna.

Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej dzieli się na elementarne i specjalne. Wśród tych pierwszych wyróżnia się funkcje algebraiczne, a pozostałe nazywa przestępnymi. Do funkcji algebraicznych zalicza się rzeczywiste funkcje wymierne, w tym rzeczywiste wielomiany. Wśród elementarnych funkcji przestępnych szczególnie często używane są funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz wartość bezwzględna i różne funkcje schodkowe.

Funkcje tego typu są niewiadomymi w równaniach różniczkowych zwyczajnych.

Przypisy

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, seria: Biblioteka Matematyczna (BM 30).
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003. ISBN 83-7469-189-1.

Literatura dodatkowa

• Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 56. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

• Podział teorii funkcji rzeczywistych według klasyfikacji MSC 2020 (ang.) [dostęp 2024-02-07].