Oznaczenia

Niech ${\displaystyle t}$ oznacza zmienną niezależną, ${\displaystyle x=x(t)}$ zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej ${\displaystyle x=x(t)}$ względem zmiennej ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}}$
• ${\displaystyle x',x'',\dots ,x^{(n)}}$
• ${\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}},{\overset {\dots }{x}}.}$

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji ${\displaystyle x}$ i jej pochodnych, tzn. np. zamiast ${\displaystyle x(t),\dots ,x^{(n)}(t)}$ pisze się tylko ${\displaystyle x,x'\dots ,x^{(n)}.}$

Ogólna definicja

(1) Jeżeli ${\displaystyle F}$ jest funkcją zmiennej ${\displaystyle t,}$ zmiennej ${\displaystyle x}$ oraz pochodnych zmiennej ${\displaystyle x,}$ to równanie postaci

${\displaystyle F\left(t,x,x',\dots ,x^{(n-1)}\right)=x^{(n)}}$

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu ${\displaystyle n.}$

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu ${\displaystyle n}$ nazywa się równanie postaci

${\displaystyle F\left(t,x,x',x'',\dots ,x^{(n)}\right)=0.}$

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej ${\displaystyle x(t)}$, gdy ${\displaystyle F}$ można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji ${\displaystyle x}$ i jej pochodnych:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\,x^{(i)}+a_{0}\,x=b,}$

gdzie:

• ${\displaystyle x^{(i)}}$ – pochodne rzędu ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ zmiennej zależnej ${\displaystyle x(t)}$ względem zmiennej ${\displaystyle t,}$
• ${\displaystyle a_{i}\equiv a_{i}(t),i=0,1,\dots ,n}$ oraz ${\displaystyle b\equiv b(t)}$ – różniczkowalne funkcje zmiennej ${\displaystyle t,}$ niekoniecznie liniowe.

Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-szej potędze i nie ma wyrazów zawierających funkcje zmiennej ${\displaystyle x}$ czy funkcje jej pochodnych, np. ${\displaystyle \sin x(t),\exp(x^{3}),\ln(x'')}$ itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

• ${\displaystyle b(t)=0}$ – wtedy równanie nazywa się jednorodnym,
• ${\displaystyle b(t)\neq 0}$ – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle x'-at=v}$

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe jednorodne rzędu ${\displaystyle n=2}$

a) ${\displaystyle m\,x''+k\,x=0}$

b) ${\displaystyle m\,x''+b\,x'+k\,x=0}$

np. równaniami a) i b) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1) ${\displaystyle x''+{\frac {g}{\ell }}\sin x(t)=0}$

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji ${\displaystyle \sin x;}$ dla małych drgań można dokonać przybliżenia ${\displaystyle \sin x=x,}$ dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2) ${\displaystyle x'=3x^{2}-2t^{3}+4}$

(3) ${\displaystyle x''=x'+(2+e^{t})\,x+(1+t)\,x^{2}}$

(4) ${\displaystyle (x')^{2}=8t\,x'+5t\,x^{3}-t}$

– równania (2)–(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna ${\displaystyle x'}$ jest w drugiej potędze.

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)].}$

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała o stałej masie ${\displaystyle m}$ w przestrzeni 3-wymiarowej w polu wektora siły ${\displaystyle \mathbf {F} (t)=[F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)]}$ zmiennej w czasie ma postać:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)]}$ – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu ${\displaystyle t.}$

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu ${\displaystyle n=2}$ trzech zmiennych ${\displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),}$ które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}},}$

gdzie: ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle b}$ – stałe parametry; tutaj oznaczono: ${\displaystyle x_{1}\equiv x(t),x_{2}\equiv y(t),x_{3}\equiv z(t);}$ ${\displaystyle t}$ ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.