Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”)[1].
Metoda podstawowa
Równanie postaci o warunkach początkowych z kolejnymi punktami na osi x:
Ponieważ – z definicji pochodnej
czyli zarazem
Po przekształceniu:
Ponieważ szukamy wzoru na zatem do wzoru podstawiamy wyżej wyliczone i otrzymujemy ostatecznie równanie:
Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:
gdzie
co oznacza, że przybliżenie wartości ma błąd rzędu Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.
Zbieżność
Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie dla warunków początkowych którego rozwiązaniem jest funkcja Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h[2].
h=1: | dla mamy | ||
h=0.5: | dla mamy | ||
h=0.1: | dla mamy | ||
h=0.01: | dla mamy | ||
h=0.001: | dla mamy |
W rzeczywistości
Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.
Metoda zmodyfikowana
Zgodnie z tą metodą, obliczamy jako:
Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).
Metoda udoskonalona
Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej za pomocą średniej arytmetycznej:
Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
- D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
- J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.