Drgania dla małej amplitudy

Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora)^{[uwaga 2][1]}:

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta (t)=0.}$

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem^[3]:

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi ),}$

gdzie:

${\displaystyle \theta _{0}}$ – amplituda drgań,

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}}$ – częstość kołowa drgań,

${\displaystyle \varphi }$ – faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }},}$

okres drgań wynosi^[4]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

Wynika stąd, że w przybliżeniu dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań ${\displaystyle \theta _{o}.}$

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}}$ i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór^[5]:

${\displaystyle T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),}$

gdzie K jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju. Całki te są stablicowane.

Przybliżenia wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie

(1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w bazie wielomianów Legendre’a, co prowadzi do wzoru

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\theta _{0})&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left[\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\ldots \right).\end{aligned}}}$

(2) Rozwijając w szereg Maclaurina^[6] otrzymuje się wzór:

${\displaystyle T(\theta _{0})=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\ 072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\ 280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\ 931}{1\ 321\ 205\ 760}}\theta _{0}^{8}+\ldots \right).}$

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego^[7].

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów

Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Jeżeli ciało porusza się w dół od stanu spoczynku, to nabywa energię kinetyczną kosztem utraty energii potencjalnej grawitacji. Jeżeli nie ma strat energii, to powyższe dwie wielkości są sobie równe, czyli^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$

Stąd prędkość wahadła wynosi:

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle v=\ell {\frac {d\theta }{dt}},}$ to z powyższych wzorów otrzymuje się prędkość kątową wahadła

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {1}{\ell }}{\sqrt {2gh}}.}$

Wysokość na jakiej znajduje się wahadło:

${\displaystyle y=\ell \cos \theta .}$

Zmiana wysokości jest różnicą wysokości dwóch położeń, to

${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$

Ostatecznie otrzymuje się^[8]

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}$

albo

${\displaystyle dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$

Okres wahań T otrzymuje się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do ${\displaystyle \theta _{o}}$ i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach)^[9]:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Lagendre’a, której wartości są stablicowane, wyraża się θ w zależności od u, dokonując przekształceń, oraz podstawienia ${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}},}$ prowadzi do wzoru na okres drgań wahadła^[9][10]

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,{\text{K}}\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),}$

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju zdefiniowaną jako

${\displaystyle {\text{K}}(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du}$

gdzie:

${\displaystyle k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$

Całkę tę można rozwinąć w szereg^[9]

${\displaystyle {\text{K}}(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot k^{2n}\right]\right\},}$

co prowadzi do wzoru na okres drgań wrażony przez szereg, podany wyżej.

Przybliżona zależność okresu od amplitudy

Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, mających różne amplitudy kątowe drgań: 0,25π =45° (szary) oraz 0,99π =178° (czarny).

Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać^[11]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\left(\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}\right)=0.}$

Rozwiązanie powyższego równania ma w przybliżeniu postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu)

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+\theta _{3}\cos(3\omega t),}$

gdzie:

${\displaystyle \theta _{0}}$ – amplituda drgań o częstotliwości ${\displaystyle \omega ,}$

${\displaystyle \theta _{3}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\theta _{0}}{4}}\right)^{3}}$ – amplituda drgań o częstotliwości ${\displaystyle 3\omega ,}$

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}},}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}\left(1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne dla amplitud dostatecznie dużych nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:

• ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości ${\displaystyle \omega }$ oraz ${\displaystyle 3\omega }$ i amplitudy odpowiednio równe ${\displaystyle \theta _{0}}$ oraz ${\displaystyle \theta _{3}}$
• częstotliwość drgań ${\displaystyle \omega }$ zależy od ${\displaystyle \theta _{0}}$ (czyli nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud) i maleje wraz z jej wzrostem
• amplituda ${\displaystyle \theta _{3}}$ wyższej harmonicznej zależy w trzeciej potędze od amplitudy ${\displaystyle \theta _{0}.}$

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości ${\displaystyle \theta _{0}}$ częstotliwość drgań ${\displaystyle \omega }$ zbliża się do wartości ${\displaystyle \omega _{0},}$ zaś amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie ${\displaystyle \theta _{0}}$ i częstotliwości ${\displaystyle \omega _{0},}$ która nie zależy od amplitudy.

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy

Ruch ciał po tautochronie.

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał, że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to wahadło cykloidalne, tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na cykloidzie o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy^[12].

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą^[13].

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej^[14]:

${\displaystyle dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.}$

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do ${\displaystyle \theta }$ przy stałym kącie maksymalnego wychylenia ${\displaystyle \theta _{0},}$ otrzymuje się

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {d\theta }{(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.}$

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju.

Całkowita energia mechaniczna wahadła. Punkty zwrotne. Krzywe fazowe

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia ${\displaystyle \theta _{0},}$ jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła ${\displaystyle E_{calkowita}}$^[14]. Energia ta determinuje punkty zwrotne ruchu wahadła, które charakteryzują kąty maksymalnego odchylenia.

Krzywe fazowe wahadła są to krzywe prezentujące zależność współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia wahadła od pionu. Niech ${\displaystyle E_{min}=2mgh}$ oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z położenia równowagi do pionu, tj. odchylenia o kąt ${\displaystyle 180^{0}.}$ Na podstawie wykresów fazowych można odróżnić poszczególne przypadki ruchu^[9] (por. wykres obok): 1) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}<E_{min},}$ to krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi; 2) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}=E_{min},}$ to krzywe fazowe tworzą przecinające się linie; 3) gdy ${\displaystyle E_{calkowita}>E_{min},}$ to krzywe fazowe są liniami otwartymi.

Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii całkowitej. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

• 
  Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
• 
  Kąt początkowy 45°
• 
  Kąt początkowy 90°
• 
  Kąt początkowy 135°
• 
  Kąt początkowy 170°
• 
  Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
• 
  Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
• 
  Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora^[15]:

${\displaystyle \theta (t)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\sin(n\omega t)+b_{n}\cos(n\omega t)).}$

Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia, gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu ${\displaystyle \theta (t)=\theta (-t),}$ dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero. Stąd otrzymuje się:

${\displaystyle \theta (t)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\cos(n\omega t).}$

Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.

Wahadło w stanie nieważkości

W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby nie działała na nie siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu^[16].

Wahadło nietłumione

Równanie drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Jest to ponadto równanie nieliniowe – nie da się go rozwiązać analitycznie. Można jednak rozwiązać je efektywnie metodami numerycznymi, np. stosując metody Rungego-Kutty. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną ${\displaystyle \omega =\theta (t)'}$ (która de facto ma sens prędkości kątowej wahadła) równanie to sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t),\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-{\frac {g}{\ell }}\cdot \sin \theta ,\end{cases}}}$

a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła w zależności od dyskretnych chwil czasu ${\displaystyle \theta (t_{n})}$ czy okres drgań ${\displaystyle T(\theta _{0}).}$ (Przykład kodu programu w C++ podano tutaj)

Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą

Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z tłumieniem i z siłą wymuszającą ma postać

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {d\theta (t)}{dt}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)=F(t)}$

gdzie:

${\displaystyle \beta }$ – współczynnik tłumienia,

${\displaystyle F(t)}$ – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.

Wprowadzając nową zmienną ${\displaystyle \omega =\theta (t)'}$ powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t)\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-2\beta \omega (t)-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)+F(t)\end{cases}}}$

Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości ${\displaystyle \theta (t_{n}),\omega (t_{n})}$ w zadanym przedziale całkowania równań. (Przykład kodu programu w języku python, wraz z generowaniem wykresów drgań, podano tutaj).