Matematyka - teoria

Liczby nieujemne to liczby dodatnie i zero.
Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka
Liczby odwrotne to dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden.
Liczby pierwsze to takie liczby naturalne większe od 1, które mają tylko dwa różne dzielniki.
Liczby przeciwne to liczby, których suma jest równa zero.
Liczby złożone to liczby naturalne, które mają więcej niż dwa dzielniki. Rozwinięcie dziesiętne liczby to przedstawie¬nie liczby w postaci dziesiętnej.
Rozwinięcie dziesiętne nieskończenie okresowe to rozwinięcie dziesiętne pewnych liczb niewymiernych.
Rozwinięcie dziesiętne skończone to dziesiętne postać pewnych liczb wymiernych
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to odległość od zera punktu odpowiadającego tej liczbie na osi liczbo¬wej.
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby ujemnej jest przeciwna do niej liczba dodatnia.
Jednomian to liczba zmienna lub iloczyn zmiennych i pewnego współczynnika liczbowego
Suma algebraiczna jest to suma jednomianów.
Odejmowanie lub dodawanie jednomianów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.
Sumę algebraiczną można rozłożyć na czynniki przez: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, stosowanie wzorów skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów.
Równanie jest to równość dwóch wyrażeń algebraicznych, w których występuje jedna lub kilka niewiadomych.
Wyrażenie algebraiczne to symboliczne zapisy liczb i działań.
Wartość liczbowa wyrażenia jest to wartość otrzymana po podstawieniu liczb w miejsce liter w wyrażeniu i wyko¬naniu wskazanych działań.
Zmienne są to litery zastępujące liczby w wyrażeniach algebraicznych.
Współczynnik liczbowy to liczba występująca na początku uporządkowanego jednomianu.
Jeżeli w równaniu występuje tylko jedna niewiadoma, to o takich równaniach mówimy, że są to równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Jeżeli równanie jest tożsamością, to znaczy, że każda liczba spełnia to równanie.
Jeżeli równanie jest sprzeczne, to znaczy, że nie ma takiej liczby rzeczywistej, która spełnia to równanie.
Nierówności równoważne to nierówności mające ten sam zbiór rozwiązań.
Równania równoważne są to równania mające dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Proporcja to równość dwóch stosunków, która ma tę samą własność, że iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczy¬nowi wyrazów środkowych.
Dane są dwa zbiory A i B. Funkcję określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B nazywamy takie przyporząd-kowanie, w którym każdemu elementowi zbioru A jest przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B.
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.
Element zbioru B, który został przyporządkowany elementowi x zbioru A, nazywamy wartością funkcji.
Funkcja malejąca to taka, w której ze wzrostem wartości argumentów x maleją wartości funkcji y.
Funkcja rosnąca to taka, w której ze wzrostem wartości argumentów x rosną wartości funkcji y.
Funkcja stała to taka, w której każdej wartości argumentu x przyporządkowana jest ta sama wartość funkcji y.
Wykres funkcji jest to graficzne przedstawienie funkcji w układzie współrzędnych.
Miejsce zerowe funkcji to każdy argument, dla którego wartość funkcji równa jest zeru.
Układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie to układ dwóch prostych prostopadłych zwanych osiami współrzędnych; oś pionowa y – oś rzędnych, oś pozioma x – oś odciętych.
Układ równań pierwszego stopnia, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia, którego nie spełnia żadna para liczb, nazywamy układem sprzecznym.
Układ równań pierwszego stopnia, który spełnia nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczo¬nym.
Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.
Ilustracją graficzną oznaczonego układu równań są dwie proste przecinające się. Współrzędne punktu przecięcia się tych prostych są rozwiązaniem tego układu równań.
Ilustracja graficzną nieoznaczonego układu równań jest prosta. Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Ilustracja graficzną układu równań sprzecznych są dwie różne proste równoległe. Rozwiązaniem układu równań sprzecznego jest zbiór pusty.
Współrzędne punktu na płaszczyźnie to uporządkowana para liczb określająca położenie punktu względem osi współrzędnych.
Rozkład liczby na czynniki pierwsze to przedstawienie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Rozstęp danych to różnica między największą a najmniejszą liczbą w danej próbie.
Sondaż to badanie opinii publicznej na podstawie przeprowadzonego wywiadu.
Próba to wybrana grupa elementów, które badamy w celu wyciągnięcia wniosków o całej populacji.
Mediana to liczba znajdująca się pośrodku danych z próby, uporządkowanych w kolejności od najmniejszej do naj-większej.
Moda to cecha, która w próbie występuje nie rzadziej niż inne.
Histogram jest to diagram słupkowy przedstawiające dane pochodzące z obserwacji.
Ankieta to zbiór pytań na określony temat.
Każdy czworokąt ma dwie przekątne
Trapezy to wszystkie czworokąty wypukłe, w których jest przynajmniej jedna para boków równoległych.
Trapezoidy to czworokąty wypukłe, które nie mają boków równoległych.
Trapez równoramienny: ramiona są równej długości , przekątne są równej długości, kąty przy podstawach są rów¬nej miary, mają jedną oś symetrii.
Trapez prostokątny: jedno ramię jest jednocześnie wysokością trapezu.
Równoległoboki są to trapezy, które mają dwie pary boków równoległych.
Równoległobok: boki równoległe są równej długości, przeciwległe kąty są równej miary, przekątne dzielą się na połowy.
Romb jest to równoległobok, w którym długości wszystkich boków są równe.
Romb: wysokości są równe, ma dwie osie symetrii; przekątne: są prostopadłe, zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych, zawierają się w osiach symetrii rombu, przecinają się w środku okręgu wpisanego w romb.
Prostokąt to równoległobok, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są proste.
Prostokąt: przekątne są równej długości, symetralne boków równoległych są osiami symetrii prostokąta, punkt prze¬cięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie.
Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.
Kwadrat: ma cztery osie symetrii; przekątne: są prostopadłe i równej długości, zawierają się w osiach symetrii, zawie¬rają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych, przecinają się we wspólnym punkcie, w środku okręgów opisanego na kwadracie i wpisanego w kwadrat.
Każdy czworokąt można podzielić na dwa trójkąty, a zatem suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 3600.
W czworokąt można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.
Na czworokącie można opisać okrąg tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przyległych są równe 1800.
Jeżeli liczba boków wielokąta jest równa n, to suma kątów wewnętrznych jest równa:
(n – 2)x180.
Wielokąt wypukły, którego wszystkie boki są jednakowej długości, a kąty wewnętrzne jednakowej miary, to wielokąt foremny.
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg.
twierdzenie pitagorasa: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadra¬tów długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Jeżeli w trójkącie kwadrat długości najdłuższego boku jest rów¬ny sumie kwadratów długości pozostałych boków trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny.
Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków wyrażone są liczbami naturalnymi
Twierdzenie Talesa: Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to stosunek długości którychkolwiek dwóch odcinków utworzonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków utwo¬rzonych na drugim ramieniu.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Jeżeli proste przecinające ramiona kąta wyznaczają na jednym ra¬mieniu odcinki proporcjonalne do odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu, to te proste są równo¬ległe.
Graniastosłupy: podstawy są przystającymi wielokątami, podstawy leżą w płaszczyznach równoległych, krawędzie boczne są równoległe, ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są kwadratami, to sześcian.
Graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupem prawidłowym.
Przekątne graniastosłupa to każdy odcinek łączący wierzchołki obu podstaw nienależące do tej samej ściany.
Przekrój graniastosłupa to część płaszczyzny, która dzieli graniastosłup na dwie części.
Ostrosłupy: podstawa jest wielokątem, ma jedną podstawę, ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nazywamy wierzchołkiem podstawy; krawędzie wychodzące z wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podsta¬wy to spodek wysokości tego ostrosłupa; odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego spodkiem wysokości to wy¬sokość ostrosłupa.
Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem.
Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.
Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy nazywamy liniowy kąt, którego wierz¬chołek leży na wspólnej krawędzi, a ramiona są do niej prostopadłe i jedno ramię leży na ścianie bocznej, a drugie na podstawie.
Walec jest to bryłą, którą otrzymujemy przez obrót prostokąta o 3600 dookoła prostej zawierającej jeden z jego bo¬ków.
Podstawy walca to dwie ściany wyznaczone przez obrót prostopadłych do osi obrotu boków prostokąta, które są przystającymi kołami i leżą względem siebie równolegle.
Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.
Przekrojem poprzecznym walca nazywamy część wspólną walca i płaszczyzny przecinającej walec równolegle do podstawy.
Przekrojem poprzecznym walca jest koło.
Stożek jest to bryła, którą otrzymujemy, obracając trójkąt prostokątny dokoła prostej zawierającej jedną z przypro-stokątnych o kąt 3600.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny.
Przekrojem poprzecznym stożka jest koło lub punkt.
Kula jest bryłą, którą otrzymujemy, obracając półkole o kąt 3600 dokoła prostej zawierającej średnicę.
Powierzchnię kuli nazywamy sferą.
Przekrój osiowy kuli nazywamy kołem wielkim.
Cięciwa to odcinek, którego końcami są punkty leżące na okręgu.
Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołki kąta, dzieląca ten kąt na połowy.
Figury przystające to takie, które po nałożeniu na siebie się pokrywają.
Kąt dwuścienny to jedna z dwóch części przestrzeni wyznaczona przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi.
Kąt środkowy jest to kąt, którego wierzchołek jest środkiem koła.
Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek jest punktem okręgu koła, a ramiona zawierają cięciwy tego koła.
Odcinek koła to jedna z dwóch części koła wyznaczona przez cięciwę tego koła.
Okrąg opisany na wielokącie jest to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.
Okrąg wpisany w wielokąt jest to okrąg styczny do wszystkich boków wielokąta.
Oś symetrii figury to prosta, względem której każdy punkt figury i punkt do niego symetryczny względem tej prostej należy do figury.
Podstawy graniastosłupa to dwie równoległe ściany tego graniastosłupa, na których leżą wszystkie wierzchołki gra-niastosłupa.
Promień okręgu to odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu, a drugim końcem punkt leżący na okręgu.
Przekątna wielokąta to odcinek łączący dowolne dwa niekolejne wierzchołki wielokąta.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodzącego przez jego środek.
Średnia arytmetyczna liczb jest to iloraz sumy tych liczb przez ich liczebność.
Średnica to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.
Środek symetrii figury jest to punkt, względem którego każdy punkt figury i punkt do niego symetryczny względem tego punktu należą do figury.
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem boku równoległego.
Wielościany to bryły, których ścianami są wielokąty.
Wysokość graniastosłupa to każdy odcinek o końcach leżących na podstawach graniastosłupa i prostopadły do tych podstaw.
Wysokość trójkąta to odcinek prostej przeprowadzonej przez wierzchołek trójkąta, prostopadłej do przeciwległego boku, liczony od wierzchołka do przecięcia się prostej z przeciwległym bokiem lub jego przedłużeniem