Matematyka

Matematyka

Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań matematyki wszystko, co wiąże się z pojęciem granicy.

Obecnie definicje te nie są w pełni adekwatne. Niestety nie ma takiej, która by zadowoliła wszystkich. Chyba najlepiej określić matematykę (zdając sobie sprawę z niedoskonałości tej definicji) jako najogólniejszą naukę dedukcyjną.

Spis treści
1 Pytania filozoficzne o zakres i znaczenie matematyki
2 Poglądy na matematykę
Historyczne poglądy na matematykę
Współczesne poglądy na matematykę
Formalizm
Logicyzm
Rozmaitość innych poglądów
3 Niesprzeczność
4 Teoria mnogości i jej rola we współczesnej matematyce






Pytania filozoficzne o zakres i znaczenie matematyki
Podobnie jak brak uznanej i akceptowanej przez wszystkich definicji czym jest matematyka, także kwestia co należy a co nie należy do tej nauki pozostaje otwarta. Problemy te wiażą się ze sobą w wyraźny sposób jako że klasyfikacja treści matematycznych idzie w parze z definicją czym jest nauka anlizująca ten zakres pojęć. Z pewnością można twierdzić, że matematyka jest nauką ścisłą opartą na dedukcji, czyli metodzie dochodzenia do wniosków w oparciu o prawa logiki w sposób absolutnie pewny (w przeciwieństwie do nauk przyrodniczych czy dziedzin humanistycznych, w których występuje element indukcji, uogólniania prawd ogólnych z doświadczeń szczegółowych). Przedmiotem matematyki są stosunki i relacje zachodzące pomiędzy odpowiednio definiowanymi obiektami abstrakcyjnymi, takimi jak zbiory, liczby, figury geometryczne czy przestrzenie a nawet całe teorie.

Nadal nie brak nierozwiązanych kwestii filozoficznych dotyczących matematyki. Brak satysfakcjonującej odpowiedzi na pytania o naturę obiektów matematycznych, o to w jakim sensie można mówić o ich istnieniu, o sens pojęcia prawdy i prawdziwości zdań matematycznych. (Wbrew pozorom ani twierdzenia Gdla, ani koncepcje Tarskiego nie zakończyły dyskusji na ten temat. Warto pamiętać, że dowód twierdzenia Gdla polega na pokazaniu zdania prawdziwego, które jest niedowodliwe na gruncie arytmetyki Peano, zatem dowodliwość nie może być przyjęta za kryterium prawdziwosci.) Brak odpowiedzi na zagadnienia związane z olbrzymim sukcesem matematyki w zastosowaniach w naukach przyrodniczych; jakie jest źródło owego sukcesu? Lista pytań pozostaje otwarta i nadal toczy się dyskusja na tematy związane z metamatematyką i filozofią matematyki.

Podobnie nie jest jasne w ramach jakiego procesu ludzie tworzą matematykę. Czy proces ten ma charakter niczym nieskrępowanej twórczości, czy może jest to tylko odkrywanie pewnej obiektywnej rzeczywistości? Można zaryzykować twierdzenie, że chociaż dla pracy matematyka nad konkretnym problemem zwykle nie mają znaczenia odpowiedzi, to jednak nie jest to prawda absoluta, to znaczy, że istnieją takie problemy, na które odpowiedź właśnie zależy od tego czy ktoś uważa że matematykę się tworzy lub że się ją odkrywa.


Poglądy na matematykę
Współczesne poglądy na istotę matematyki są pochodną długiej historycznie dyskusji, w której prezentowano rozmaite stanowiska na to, czym jest matematyka.


Historyczne poglądy na matematykę
Platon widział w matematyce sposób na obiektywne poznawanie realnie istniejącego świata idei niepoznawalnych innymi metodami aniżeli za pomocą rozumu. Arystoteles uważał, że matematyka to zajęcie, w którym bada się relacje pomiędzy określonymi obiektami, i w której istnienie jest przypisywane owym relacjom, a nie samym obiektom. Wielu matematyków, fizyków i filozofów widziało w matematyce wiedzę praktyczną, system ścisłego wnioskowania, działalność rozumu pozwalającą dedukować prawdy absolutne w sensie obiektywnym, lub prawdy absolutne w sensie prawd dostępnych ludzkiemu poznaniu.

Szczególnie burzliwym okresem badań nad podstawami matematyki był koniec wieku XIX i początek wieku XX aż do lat 30., kiedy badania prowadzili tacy uczeni jak Leopold Kronecker i Luitzen Brouwer - zwolennicy konstruktywizmu, Georg Cantor - twórca teorii mnogości zwalczany przez Kroneckera, Richard Dedekind - twórca spójnej konstrukcji liczb rzeczywistych, Bertrand Russell i Alfred Whitehead - przedstawiciele logicyzmu, David Hilbert - twórca i inicjator programu oparcia matematyki na ścisłych i pozwalających na analizę podstawach (początek formalizmowi) oraz wreszcie Alonzo Church, Emil Leon Post i Kurt Gdel, który wykazał, że formalizm jest koncepcją niemożliwą do realizacji w konstruktywny sposób. Nowe możliwości badania podstaw matematyki otwarły się wobec rozwinięcia przez wspomnianych matematyków teorii dowodu oraz stworzenie przez Alfreda Tarskiego teorii modeli zajmującej się rozmaitymi realizacjami danego zboru aksjomatów i związków między nimi. Następne lata, a zwłaszcza druga połowa XX wieku, wprowadziły do arsenału filozofii matematyki koncepcje antropologiczne, postulujące związek matematyki z kulturą i socjologią, koncepcje quasiempiryczne, zakładające, że wiedza matematyczna jest swego rodzaju uogólnieniem wiedzy powszechnie dostępnej, ale jednak opartej na rzeczywistym empirycznym doświadczeniu itp. Swoje prace publikowali wówczas tacy filozofowie matematyki jak Lakatos, Quine, Putnam i inni.


Współczesne poglądy na matematykę
W filozofii matematyki dominują trzy główne poglądy: formalizm, logicyzm i intuicjonizm.


Formalizm
Zgodnie z założeniami najpopularniejszego prądu w filozofii matematyki, formalizmu, przedmiotem badań matematyki są teorie, które przyjmują do swych rozważań:

pewien zespół pojęć pierwotnych (niedefiniowanych na wstępie - takich jak na przykład pojęcie zbioru w teorii mnogości czy punktu w geometrii)
jakiś układ prawd o tych przedmiotach (czyli aksjomatów)
wreszcie jakiś zestaw reguł wnioskowania
Zwróćmy uwagę, że według niektórych formalistów (nie wszystkich, np. Hilbert, twórca formalizmu, był innego zdania) aksjomat, to zupełnie dowolne zdanie, które nie musi w szczególności być ani oczywiście prawdziwe, ani w ogóle mieć cokolwiek wspólnego z jakąkolwiek rzeczywistością, w szczególności fizyczną (zastosowaniem matematyki do rzeczywistości zajmuje się głównie fizyka matematyczna). Podobnie zestaw reguł wnioskowania w logice matematycznej nie musi mieć nic wspólnego z klasyczną logiką. Jednak w celu zapewnienia niesprzecznosci teorii (co oczywiście nie jest żadnym ścisłym wymogiem: w formaliźmie można sobie badać i rozwijać teorie sprzeczne, skoro aksjomaty są dowolne) musimy jakoś zapewnić niesprzecznosć aksjomatów. Aby dojść do tego celu wystarczy zrozumieć ich znaczenie a pośrednio być przekonanym o ich prawdziwości. Jak bowiem wykazał Tarski, zbiór zdań prawdziwych stanowi system zupełny. Warto jednak pamiętać, że formalizm nie neguje użyteczności pewnych zbiorów aksjomatów w stosunku do innych, uznając, że pewne obiekty i operacje na nich są bliższe ludzkiemu rozumowi niż inne. W tym sensie np. arytmetyka liczb naturalnych określona według aksjomatyki Peano może być realizowana w wielu różnych i nieizomorficznych modelach, jednak jej model podstawowy obejmujący znane dobrze liczby naturalne jest uprzywilejowany i bliższy naturalnemu rozumieniu pojęć, które aksjomatyka Peano definiuje.


Logicyzm
Zgodnie z założeniami logicyzmu matematyka jest nauką pochodną od logiki zaś jej wszystkie twierdzenia są wyprowadzalne z ogólnych praw logiki. Tym samym konstrukcje matematyki wynikają z ogólnych i znanych zasad dedukcji zaś obiekty o których mówią, czyli liczby, figury geometryczne i bardziej skomplikowane struktury, są swego rodzaju wytworami umysłu, pojęciami dostępnymi poznaniu dzięki prawom logiki oraz bezpośredniemu wglądowi. Logicyzm nie wypowiada się na temat ich charakteru ontologicznego.


Rozmaitość innych poglądów
Inne obecne poglądy na matematykę są zwykle związane z wymienionymi powyżej, lub mają swe korzenie w wielu historycznych poglądach znanych matematyków i filozofów.

Istotą platonizmu matematycznego jest uznanie, iż byty matematyczne (np. trójkąt, liczba Pi, nieskończoność, zbiór liczb naturalnych) istnieją niezależnie od nas, tj. od ludzi nimi się zajmujących. Tym samym matematyk, pracujący z bytami matematycznymi, dokonuje odkryć a nie tworzy. Warto zwrócić uwagę, że nazwa platonizm kojarzona jest zwykle z nazwą idealizm, zaś skoro idee według tego poglądu istnieją obiektywnie, należałoby mówić o realizmie. Konstruktywizm jest doktryną intuicjonistyczną, zgodnie z którą dany byt matematyczny uznaje się za dobrze zdefiniowany (czyli uznaje się jego istnienie i umawia się, że warto się nim zajmować) dopiero wtedy, gdy podany zostanie skończony algorytm jego konstrukcji. Konstruktywiści uznają tylko byty spełniające te wymagania. Tak np. zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować ze zbioru liczb naturalnych, jednak dla konstruktywisty postępowanie takie jest na ogół nie do przyjęcia, gdyż prowadzi do obiektów takich jak liczby, których rozwinięcie dziesiętne zawiera cyfry, które nie są możliwe do wyliczenia za pomocą żadnej skończonej procedury. Konstruktywizm proponuje wyjście z takiego stanu rzeczy przez rozważanie wyłącznie tych liczb, których rozwinięcia dziesiętne są obliczalne. Formalizm matematyczny w skrajnej postaci neguje obiektywne istnienie jakichkolwiek bytów matematycznych; w myśl bowiem tej filozofii mniej istotne jest to, czy byty te istnieją obiektywnie - liczą się reguły postępowania z nimi. Matematyka jako taka jest zatem postrzegana jako zbiór reguł i zasad, w myśl których matematycy postępują. Przedmioty postępowań (byty i twory matematyczne) nie są same w sobie tak istotne, jak sposoby działania na nich. Tym samym jest to bliski pogląd do arystotelejskiej koncepcji matematyki, w ramach którego kompletnie bez znaczenia staje się treść twierdzeń matematycznych (semantyka), a jedyne znaczenie przypisuje się wyłącznie mechanicznym operacjom na symbolach (syntaktyce). Znaczący cios takim poglądom zadał Gdel, który udowodnił, że matematyka nie ma zamkniętego charakteru, a więc jej uprawianie zawsze wymaga znajomości treści czy znaczenia wypowiadanych treści, gdyż inaczej nie jest możliwe przeprowadzanie dowodów matematycznych pewnych prawd. Mimo to, współcześnie formalizm jest najpopularniejszym prądem metamatematycznym. Głównie z uwagi na to, że jest programem konstruktywnym, posiadającym jasną i dobrze ugruntowaną metodologię, pozwalającą organizować dostępną wiedzę matematyczną oraz, co nie jest obojętne, przedstawia tę wiedzę w sposób ułatwiający jej przekaz. Warto jednak pamiętać, że matematyka uprawiana przez matematyków zwykle daleka jest od metod formalistycznych, których używa się do przedstawiania znanych i dobrze ugruntowanych teorii, w szczególności do pisania podręczników, a nie do tworzenia nowych twierdzeń czy prawd matematycznych.

Niektórzy uważają, że matematyka bliższa jest w swojej konstrukcji sztuce niż naukom przyrodniczym i widzą w niej spontaniczną realizację intelektu i rozumu.


Niesprzeczność
Podstawowym wymaganiem, jakie stawia się teoriom matematyki, jest niesprzeczność. Dzięki pracom takich matematyków jak Hilbert, Gdel, Church, Post, Tarski i wielu innych wiemy obecnie, że jest to także najostrzejsze wymaganie, jakie można im stawiać. Historycznie wcześniejszy pogląd, jakoby można dodatkowo od teorii zażądać zupełności, to znaczy, możliwości dowiedzenia wszystkich twierdzeń w ramach raz ustalonej bazy wiedzy, okazał się nie do spełnienia dla dostatecznie rozbudowanych teorii. W latach 30. XX wieku Kurt Gdel dowiódł dwa ważne twierdzenia zwane współcześnie jego imieniem. Wnioski z nich stwierdzają, że albo teoria aksjomatyczna zawierająca w sobie arytmetykę liczb naturalnych jest niesprzeczna albo zupełna, nigdy zaś nie ma obydwu tych własności jednocześnie. Tym samym, jeśli uznamy, że w ramach dowodzenia twierdzeń i ich wyrażania posługujemy się pewnym z góry ustalonym i statycznym zespołem reguł, to niemożliwe jest dowiedzenie wszystkich zdań wyrażalnych w takim systemie. W szczególnosci Gdel dowodząc swoje twierdzenia podał ogólną metodę konstrukcji zdań, twierdzeń, które nie mogą zostać dowiedzione na gruncie arytmetyki liczb naturalnych, choć wyrażają pewną prawdę o liczbach naturalnych środkami dopuszczalnymi w ramach aksjomatyki Peano.

Sytuacja taka z początku była przez wielu oceniana jako ograniczenie matematyki: oto wiedza matematyczna nie pozwala odpowiedzieć na wszystkie pytania jakie można w matematyce zadać. Rychło jednak głębsze zrozumienie znaczenia twierdzeń Gdela doprowadziło do spostrzeżenia, że stan ten odnosi się do założenia, że matematyk posługuje się z góry określonym zestawem metod dowodzenia. Tym samym utracona została nie tyle zdolność matematyki do dowodzenia prawdy matematycznej, co raczej wykazana została niezdolność finitystycznych systemów formalnych do jej wyrażania. Między innymi dlatego, pomimo odkrycia twierdzeń Gdla i Tarskiego (o niewyrażalności prawdy w systemie finitystycznym), matematyka ma się świetnie, powstają nowe teorie i w zasadzie nie dostrzega się żadnych objawów kryzysu pojęciowego związanego z opisanymi ograniczeniami. Warto także pamiętać, że zbiór zdań prawdziwych dowolnej teorii (który nie jest tożsamy ze zbiorem twierdzeń tej teorii) jest zbiorem zupełnym. Twierdzenie Gdela wskazuje bowiem na przypadłośc pewnej metody dowodzenia twierdzeń, mianowicie metody formalnej, nie zaś na wadę teorii jako takiej, rozumianej jako możliwość wypowiadania się o pewnych bytach abstrakcyjnych. Za przykład unaoczniający tę różnicę można podać twierdzenia, których nie daje się dowieść na gruncie arytmetyki choć mają czysto kombinatoryczą treść (zliczanie grafów w ramach teorii Ramseya), a które jednak można dowodzić posługując się teorią mnogości. Widać jasno, że powodem niedowiedlności tego zdania jest nie tyle jego treść, a więc jakaś zasadnicza niemożliwość wykonania dowodu, jak w wypadku antynomii kłamcy, lecz po prostu brak odpowiednich narzędzi w ramach arytmetyki liczb naturalnych.

Warto wiedzieć, że następujące teorie są zarazem zupełne i niesprzeczne:

geometria Euklidesa,
arytmetyka liczb naturalnych bez działania mnożenia,
arytmetyka liczb naturalnych bez aksjomatu indukcji.


Teoria mnogości i jej rola we współczesnej matematyce
Proces definiowania czym jest wiedza matematyczna oraz rozmaite problemy wynikające z braku zadowalającej i ścisłej definicji czym są obiekty matematyczne, oraz w jaki sposób realizowane jest ich istnienie, doprowadziły do intensywnych poszukiwań zadowalających podstaw matematyki. Rolę takich podstawowych teorii, do których sprowadzona miałaby zostać cała matematyka, historycznie pełniło wiele dziedzin związanych z matematyką lub jej działów. Istniały próby sprowadzenia matematyki do teorii typów, w wyniku czego miałaby ona stać się działem logiki. Podobne próby były związane z teorią liczb naturalnych w ramach prądów finitystycznych. Współczesna matematyka od lat 60. XX wieku opiera swoje podstawy na teorii mnogości zaksjomatyzowanej przez Zermelo i Fraenkela. Rozważane były także inne aksjomatyzacje tej teorii, żadna jednak nie uzyskała takiej popularności jak aksjomatyka Zermelo-Fraenkela teorii mnogości. Można zatem powiedzieć, że teoria ta spełnia współcześnie wyróżnioną rolę w matematyce, stanowiąc podstawową teorię aksjomatyczną oraz język w sensie terminologicznym współczesnej matematyki.

Centralnymi pojęciami stają się tu pierwotne pojęcia zbioru i należenia do zbioru. Wprowadza się aksjomaty formalizując podstawowe własności takich obiektów jak aksjomat wyróżniania itp. Rekonstrukcja matematyki polega na stopniowym definiowaniu coraz bardziej złożonych pojęć jak funkcja, klasa abstrakcji, liczba naturalna, liczba rzeczywista.