matematyka

HISTORIA MATEMATYKI - WIEK XIX

Charakterystyka epoki:
• Rewolucja francuska i okres napoleoński stworzyły korzystne warunki dla rewolucji przemysłowej w Europie, co wzmogło uprawianie nauk fizycznych, a tym samym prawie idealne warunki dla rozwoju matematyki.
• Zaistniała konieczność zreformowania i odmłodzenia szkół i uniwersytetów.
• Źródłem rozwoju matematyki nie była już tylko praktyka. Nastąpiło oddzielenie matematyki czystej i stosowanej.
• Najlepiej matematyka rozwijała się we Francji, nieco później w Niemczech oraz w innych krajach, które wprowadzały radykalne zmiany związane z rewolucją przemysłową. Natomiast najwolniej matematyka rozwijała się w Anglii.
• Matematycy nie żyli już na dworach królewskich ani na salonach arystokracji, lecz byli członkami – nauczycielami, wykładowcami i badaczami na uniwersytetach i szkołach technicznych.
• Matematycy zaczęli pracować w bardzo wielu wąskich dziedzinach, których metody znali tylko specjaliści ( geometria, analiza matematyczna, algebra, teoria mnogości, później także fizyka matematyczna, statystyka matematyczna oraz logika matematyczna). W drugiej połowie XIX wieku pojawiły się próby syntezy różnych działów matematyki.
• W pracach naukowych zaczęto używać języków narodowych, zamiast łaciny.
• Powstało wiele szkół technicznych, w tym słynna Ecole Polytechnique w Paryżu (1794r.), z którą związani byli wybitni matematycy i inżynierowie. Właśnie dla tej uczelni powstawały książki nowego typu, nie specjalistyczne, lecz podręczniki akademickie, będące do dziś wzorem dla matematyków.


AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1875)
• Liczne wyniki w zakresie teorii światła i mechaniki.
• Twórca matematycznej teorii sprężystości.
• Osiągnięcia w teorii funkcji zmiennej zespolonej (twierdzenie całkowe Cauchy’ego o residuach, twierdzenie, że każdą funkcję regularną można rozwinąć wokół każdego punktu w szereg zbieżny wewnątrz okręgu przechodzącego przez najbliższy punkt osobliwy), która stała się niezależną dziedziną badań.
• Pionier nowych kryteriów ścisłości w matematyce.
• Podał podstawy rachunku różniczkowego i całkowego w postaci przyjmowanej obecnie w podręcznikach. Podał definicję granicy, określił pochodną i różniczkę.
• Podał dowód istnienia rozwiązania równań różniczkowych oraz układów takich równań.
• Zajmował się zbieżnością szeregów nieskończonych.

NIELS HENRIK ABEL (1802-1829)
• Prowadził badania nad funkcjami eliptycznymi.
• Dał początek teorii funkcji podwójnie periodycznych.
• Mówimy o równaniu całkowym Abela, o twierdzeniu Abela o sumie całek funkcji algebraicznych, które prowadzi do funkcji apelowych. Natomiast grupy przemienne nazywa się grupami apelowymi, co wskazuje na bliski związek idei Galois i Abela.

CARL GUSTAV JACOB JACOBI (1804-1851)
• Oparł swą teorię funkcji eliptycznych na czterech funkcjach zwanych funkcjami theta.
• Twórca teorii funkcji abelowych p zmiennych, która stała się ważna dziedziną matematyki XIX w.
• Zajmował się algebrą i teoria eliminacji (jakobian – wyznacznik funkcyjny).
• Napisał wykłady o dynamice (prowadził badania nad równaniami cząstkowymi pierwszego rzędu i ich zastosowaniem do równań różniczkowych dynamiki).

KARL WEIERSTRASS (1815-1897)
• Zajmował się całkami eliptycznymi, funkcjami abelowymi, równaniami różniczkowymi algebraicznymi.
• Oparł teorie funkcji zespolonych na szeregach potęgowych. Badał w szczególności funkcje całkowite i funkcje określone przez iloczyny nieskończone.
• Zamiast niejasnych, intuicyjnych pojęć analizy matematycznej Weierstrass wprowadził pojęcia dobrze zdefiniowane („weierstrassowka ścisłość”).
• Podał do dzisiaj używaną epsilonową definicję granicy funkcji, także definicje minimum, funkcji i pochodnej.
• Od niego rozpoczyna się arytmetyzacja matematyki (sprowadzanie zasad analizy do najprostszych pojęć arytmetyki.

LEOPOLD KRONECKER (1823 -1891)
• Twórca i główny zwolennik arytmetyzacji analizy. Chciał wtłoczyć wszystko co matematyczne w formy teorioliczbowe.
• Jego główne wyniki należą do teorii funkcji eliptycznych, teorii ideałów, arytmetyki form kwadratowych i teorii liczb.
• Uznawał definicje za poprawne tylko w przypadku, gdy można je było sprowadzić w skończonej liczbie kroków. Walczył więc z przyjmowaniem nieskończoności aktualnej.

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
• Jego praca doktorska poświęcona była teorii funkcji zespolonych u + iv = f ( x + iy). Rozważał przekształcenie konforemne płaszczyzny, co prowadziło do pojęcia płaszczyzny Riemanna i równań topologicznych w analizie. Podał definicję funkcji zespolonej. Jej część rzeczywista i zespolona winny spełniać w pewnym obszarze m. in. równania Cauchy’ego-Riemanna ux = vy, uy = -vx
• W badaniu funkcji hipergeometrycznych i funkcji abelowych posługiwał się zasadą Dirichletta.
• Badał warunki Dirichletta rozwijalności funkcji w szereg Fouriera oraz podał swoją definicję, która znamy jako definicję całki Riemanna.
• Podał też przykład funkcji ciągłej bez pochodnej.
• Wprowadził pojecie przestrzeni jako rozmaitości topologicznej w dowolnej liczbie wymiarów.
• Badał także ilość π(x) liczb pierwszych mniejszych od danej liczby x.
• Twórca tak zwanej hipotezy Riemanna, że wszystkie nierzeczywiste pierwiastki funkcji dzeta Eulera rozważanej dla s = x + iy zespolonego leżą na prostej x = ½.

MATEMATYCY ANGIELSCY
• W wieku XIX matematyka czysta była w Anglii reprezentowana przede wszystkim przez algebrę z zastosowaniem głownie do geometrii. Jej przedstawicielami byli ARTHUR CAYLEY (1821-1895), JAMES JOSEPH SYLVESTER (1814-1897) oraz GEORGE SALOMON (1819-1914). Do tego grona można także zaliczyć Hamiltona oraz Clifforda.
• Sylvester wraz z Leibnitzem uważany jest za największego twórcę nowych terminów w całej historii matematyki. To właśnie jemu zawdzięczmy wiele obecnie używanych terminów, jak inwariant, kowariant, kontrawariantny, kogredientny i syzygium. Stworzył też teorie dzielników elementarnych oraz prawo bezwładności form kwadratowych.
• Cayley i Sylwester stworzyli początki teorii niezmienników algebraicznych.
• Największą zasługą Salomona jest wydanie znanych podręczników, które w sposób jasny i elegancki przedstawiały najważniejsze zagadnienia z zakresu geometrii analitycznej i teorii niezmienników.
• Hamilton skonstruował ścisłą algebrę liczb zespolonych, opartą na pojęciu liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych. Jest odkrywcą teorii kwaternionów, która spotkała się z zainteresowaniem w Niemczech.

FELIX CHRISTIAN KLEIN (1849-1925)
• Przedstawił znaczenie teorii grup dla klasyfikacji różnych działów matematyki.
• Zdefiniował każdą geometrię jako teorie niezmienników pewnej szczególnej grupy przekształceń. Klasyfikacja tych grup przekształceń daje nam klasyfikację geometrii, również nieeuklidesowych.
• Klein podał także wykład funkcji zespolonych według koncepcji Riemanna.
• Stosował pojęcie grup do równań różniczkowych liniowych funkcji modułowych eliptycznych, funkcji abelowych i nowych funkcji „automorficznych”.
• Getynga pod jego przewodnictwem stała się światowym ośrodkiem badań matematycznych.