Rozwiązanie układu równań liniowych
Rozważamy układ równań:
\[2x + 3y = 5\]
\[-4x + 2y = 7\]
Wprowadzamy macierz współczynników:
\[W = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\]
Obliczamy wyznacznik macierzy \(W\):
\[W = 2 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 = 4 + 12 = 16\]
Teraz obliczamy wyznaczniki \(W_x\) i \(W_y\), zastępując odpowiednie kolumny macierzy współczynników kolumnami wyrazów wolnych:
\[W_x = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}\]
\[W_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}\]
Obliczamy ich wyznaczniki:
\[W_x = 5 \cdot 2 - 7 \cdot 3 = 10 - 21 = -11\]
\[W_y = 2 \cdot 7 - (-4) \cdot 5 = 14 + 20 = 34\]
Teraz znajdujemy rozwiązania układu, korzystając z wzorów Cramera:
\[x = \frac{W_x}{W} = \frac{-11}{16}\]
\[y = \frac{W_y}{W} = \frac{34}{16}\]
Ostateczne wyniki:
\[x = -\frac{11}{16}\]
\[y = \frac{17}{8}\]