Granica ciągu nieskończonego.

Definicja: Otoczeniem , o promieniu punktu na prostej nazywamy odcinek otwarty o środku i długości

Otoczeniem jest przedział otwarty Dla każdego punktu mamy:

Definicja: Mówimy, że liczba jest granicą ciągu () przy dążącym do nieskończoności wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby istnieje takie że wyrazy ciągu o wskaźnikach
> należą do tego otoczenia.
Zapisujemy to: tak więc:

Ciąg, który posiada granicę nazywamy ciągiem zbieżnym.
Przykład: Wykażmy, że
Mamy: Niech będzie dowolną liczbą dodatnią. Otrzymujemy zatem:
Wobec tego:

To znaczy, że może być dowolną liczbą naturalną większą od np. =
Wobec tego wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od będą spełniały nierówność: Zatem
To również znaczy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego () (prawie wszystkie- wszystkie oprócz skończonej ilości) będą należały do otoczenia o promieniu liczby 0.
Własności ciągów zbieżnych
Twierdzenie: Jeżeli to:

Twierdzenie: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie: Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny oraz każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.
Twierdzenie (o trzech ciągach).
Jeżeli dane są ciągi spełniające warunki:
1.
2. istnieje taka liczba że dla każdego spełniona jest nierówność: to
Ciągi rozbieżne do nieskończoności.
Definicja: Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności wtedy, gdy dla każdego prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od .
Zapisujemy: tak więc:

Definicja: Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności wtedy, gdy dla każdego prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od.
Zapisujemy: tak więc:

Twierdzenie: Jeżeli to
Twierdzenie: a). Jeżeli dla prawie wszystkich
b). Jeżeli dla prawie wszystkich
Przykład: Wyznaczyć granice ciągów;
a). , b).
Aby wyznaczyć granicę ciągów dzielimy licznik i mianownik ułamka przez najwyższą potęgę zmiennej jaka występuje w mianowniku.
a).
b).