Liczba Pi

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokoątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest π

Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska 227≈3,14, ale nie ma tu równości. Bliższa jest wartości 355113≈3,1415929203..., ale nawet ta liczba nie określa dokładnej wartości. Czy jest możliwe, żeby liczba pi była równa pewnemu ułamkowi tym samym należącą do zbioru liczb wymiernych? OdpowiedĽ brzmi: nie, jak pokazał Johann Lambert w 1761 roku. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli, związana jest także z kwadraturą koła - zadaniem pochodzącym ze starożytnej Grecji, rozwiązanym dopiero przez Lindemanna.

Wzory na π

Oto wzory na liczbę pi, jakie pojawiały się w pracach uczonych tego świata.

Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈3
Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈(169)2≈3,160493...
Archimedes (III w. p.n.e.): π≈227≈3,14
Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 14245≈3,1555...
Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): π≈3+860+3360≈3,1416
hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈6283220000=3,1416
hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): π≈10≈3,162...
hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): π≈754240=3,1416666...
włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): π≈864275≈3,1415929
holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355113≈3,1415929
francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): π2=22·2+22·2+2+22·...
angielski matematyk John Wallis (XVII w.): π2=2·2·4·4·6·6·...3·3·5·5·7·7·...
niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): π4=1−13+15−17+19+...
szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): π26=1+122+132+142+152+...

Ciekawostki

W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.

Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu
przynosi wszystkim pożytek wspaniały
π ≈ 3,14159265358979

Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

liczba pi, z dokładnością do miliona miejsc po przecinku