Zanim rozpocznę wykład na temat równań, chciałbym, abyście przypomnieli sobie pewne zasady.
Oto ciąg wyrażeń: a) +2, b) -8, c) 3, d) -x, e) y-. Jakie znaki, plus (+) lub minus (-), mają te wyrażenia? Znak zawsze znajduje się przed liczbą lub niewiadomą!
A więc:
a) Liczba 2 jest poprzedzona znakiem +.
b) Liczba 8 jest poprzedzona znakiem -.
c) W przypadku liczby 3 brak znaku, ale to oznacza, że stoi tam znak +. Znak za liczbą 3 odnosi się do następnego wyrażenia.
d) Niewiadoma x jest poprzedzona znakiem -.
e) Z jakim znakiem występuje niewiadoma y? Oczywiście, z +.
Równanie to takie wyrażenie matematyczne, które posiada znak "=".
Przykładowo: 13 = 13 (jest to równanie prawdziwe, bo trzynaście jest równe trzynastu). Ogólnie zapisujemy to w ten sposób, że L = P (lewa strona równania jest identyczna, równa prawej stronie równania). Nie tylko 13 = 13, ale także 5 = 5, 23 = 23, itd. Dlatego stosujemy ten ogólny wzór L = P, ponieważ obejmuje on wszystkie równości.
Co możemy zrobić z równaniem np. 8 = 8?
Zapamiętaj:
1. Prawdziwość równania nie zmieni się, jeżeli:
a) Do obu stron równania dodamy tę samą liczbę, np. 3; \(8 + 3 = 8 + 3\). Po dodaniu otrzymamy \(11 = 11\).
b) Od obu stron równania odejmiemy tę samą liczbę, np. 5; \(8 - 5 = 8 - 5\). Po odjęciu otrzymamy \(3 = 3\).
c) Obie strony równania pomnożymy przez tę samą liczbę, np. 4; \(8 \times 4 = 8 \times 4\). Otrzymamy \(32 = 32\).
d) Obie strony równania podzielimy przez tę samą liczbę, np. 2; \(8 ÷ 2 = 8 ÷ 2\). Otrzymamy \(4 = 4\).
Postarajmy się rozwiązać pierwsze równanie: \(2x = 6\).
Podałem tu przykład prostego równania. Jak należy to dokładnie czytać: "dwa razy x równa się sześć".
Wyjadacze matematyczni przeczytają to jednak inaczej: "dwa x równa się sześć". Znak "x" to niewiadoma. Mogą być stosowane także inne niewiadome (y, z itd.). Niewiadoma to liczba, którą chcemy obliczyć.
W zadaniach matematycznych nie stosuje się znaku mnożenia, a zapisy takie jak: \(2x\), \(3y\), \(5z\) oznaczają mnożenia: 2 razy x, 3 razy y, 5 razy z. Rozwiązanie takiego równania (\(2x = 6\)) polega na znalezieniu takiej liczby, która spełnia to równanie. Spełnia to znaczy, że po podstawieniu za "x" szukanej liczby, lewa strona równania będzie równa prawej stronie.
Możemy za x podstawić np. liczbę 3. Czy jest ona rozwiązaniem równania? \(2 \times 3 = 6\). Po wymnożeniu na lewej stronie równania otrzymamy "6", a prawa strona nie wymaga zmian.
Czy \(6 = 6\)? Tak! To jest właściwe rozwiązanie.
Aby doprowadzić do rozwiązania równania, po jednej jego stronie (po lewej lub prawej) musi pozostać sama niewiadoma bez żadnych liczb (w naszym równaniu zbędna jest liczba 2). Niewiadoma ta musi być ze znakiem dodatnim (+).
W naszym równaniu \(2x = 6\), zbędna jest liczba 2. Co z nią zrobić?
Wszystkie podstawowe działania matematyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) możemy "zlikwidować" poprzez działania odwrotne:
a) Dodawanie zlikwidujemy przez odejmowanie.
b) Odejmowanie przez dodawanie.
c) Mnożenie poprzez dzielenie.
d) Dzielenie poprzez mnożenie.
W naszym równaniu \(2x = 6\), mamy mnożenie niewiadomej "x" przez 2.
W jaki sposób zlikwidujemy 2?
Należy obie strony równania podzielić przez 2.
Jak to zapisać? \(2x = 6\), II: 2 - ten zapis czytamy: równanie \(2x = 6\), obie jego strony dzielimy przez 2.
Co otrzymamy? \(\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}\) i dalej lewą stronę upraszczamy i otrzymujemy sam \(x\), a po prawej (\(\frac{6}{2} = 3\)): \(x = 3\). Czy to prawda? Sprawdzenie: \(2 \times 3 = 6\); \(6 = 6\).
---