Wyrażenia algebraiczne

1. Zapisywanie wyrażeń algebraicznych
a.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na trzy kolejne liczby naturalne:
n
n + 1
n + 2

b.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na liczbę dwu cyfrową:
10a + b

c.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na liczbą trzy cyfrową:
100a + 10b + c

d.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na trzy kolejne liczby parzyste:
2n
2n + 2
2n + 4

e.) zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych wzór na trzy kolejne liczby nie parzyste:
2n + 1
2n + 3
2n + 5

2. Suma algebraiczna
a.) opuszczanie nawiasów:
(a + 3b) + (-2a – 2b)= a +3b – 2a – 2b= -a + b
(a + 3b) – (-2a + 2b)= a + 3b + 2a – 2b= 3a – b
b.) redukcja wyrazów podobnych:
3x + 4y – 6x – 7y + 12x= 9x – 3y
(4x - 2) + (5x + 3)= 4x – 2 + 5x + 3= 9x + 1
c.) mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian:
2 (a + 2b)= 2a + 4b
d.) mnożenie sum algebraicznych:
(a + 2b) * (3a – b)= a * 3a – a * b + 2b * 3a – 2b * b = 3a² - ab + 6ab – 2b²= 3a² + 5ab- 2b²

3. Wzory skróconego mnożenia
a.) kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(2x + y)²= (2x)² + 2* 2x*y + y²= 2x² + 4xy + y²

b.) kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:
(a – b)²= a² - 2ab + b²
(3a – 2b)² = (3a)² - 2*3a*2b + (2b)²= 9a² - 12ab + 4b²

c.) iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrażeń:
(a + b)(a – b)= a² - b²
(x + 4)(x – 4)= x² - 16

4. Rozkład sumy algebraicznej na czynniki:
a.) wyłączanie czynnika przed nawias:
4ax – 8ay – 4az= 4a (x – 2y – z)

b.) wzory skróconego mnożenia:
4a² + 4ab + b² = (2a + b)²
4a² - 4a + 1= (2a – 1)²
9 - c²= (3 + c)(3 – c)

c.) grupowanie wyrazów:
ax + ay + bx + by= a(x + y) + b(x + y)= (x + y)(a + b)
3ax + 2b + 2bx + 3a= 3ax + 3a + 2b + 2bx= 3a (x + 1) + 2b (1 + x) = (x + 1)(3a + 2b)

5. Zadania
2b² - 4b - 1³ = 2 (-¾)² - 4 (-¾) – 1 = 2 * 9/16 + 3 – 1= 1 1/8 + 2= 3,125
5a² - 3b – 7a² + 8b= -2a² + 5b
3x (4y – x)= 12xy – 3x²
6a² - 2a + 4ab = 2a (3a – 1 + 2b)
(3x – 1) (2 + x)= 6x + 3x² - 2 – x= 5x + 3x² -2
(a + b)² - (a – b)²= a² + 2ab + b² - (a² - 2ab + b²)= a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²= 4ab
6 – 12a + 6a²= 6 (1 – 2a + a²) = 6 (1 – a)²
3ab – 5a²b² - 6ab² + 2ab + ab² + 7a²b²= 5ab + 2a²b² - 5ab²

6. Co to są wyrażenia algebraiczne?
Wyrażenia w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

7. Jak tworzymy nazwy wyrażeń?
Wyrażenia algebraiczne przyjmują nazwę od ostatniego wykonywanego działania zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

8. Co to są zmienne, jednomiany?
Litery występujące w wyrażeniach nazywamy zmiennymi. Jednomianem nazywamy pojedynczą liczbę, pojedynczą literę lub iloczyn liczby i litery.

9. Jak porządkujemy jednomiany?
Aby uporządkować jednomian wykonujemy działania na liczbach, a litery zapisujemy w kolejności alfabetycznej.

10. Co to jest współczynnik liczbowy?
Liczbę która występuje na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem jednomianu (współczynnikiem liczbowym)

11. Suma algebraiczna powstaje w wyniku dodawania jednomianów

12. Wyrazy podobne mają takie same zmienne w tej samej potędze, a różnić się mogą współczynnikiem liczbowym

13. Redukcja wyrazów podobnych polega na wykonaniu działań na współczynnikach liczbowych, a zmienne przepisujemy bez zmian

14. Jeżeli przed nawiasem jest znak plus lub nie ma znaku to opuszczając nawias przepisujemy wszystkie wyrazy z nawiasu bez zmian.

15. Jeżeli przed nawiasem jest znak minus to opuszczając nawias zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny

16. Aby pomnoży dwie sumy algebraiczne należy pomnożyć każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy

17. Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojonemu iloczynowi pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadratowi drugiego wyrażenia

18. Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojonemu iloczynowi pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadratowi drugiego wyrażenia

19. Iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń