Ciąg Fibonacciego

1. Ciąg liczbowy Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych zwanych liczbami Fibonacciego określony rekurencyjnie w sposób następujący:
F0 = 0
F1= 1
Fn = Fn-1+Fn-2, dla n ≥ 2

Początkowe wartości tego ciągu to:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

2. Własności ciągu Fibonacciego

Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to:0,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 itd.
a) Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

b) W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1.618. w miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Odwrotnością 1.618 jest 0.618. W związku z tym współczynnik każdej liczby ciągu podzielony przez liczbę następną oscyluje wokół 0.618.

c) Trzecia cecha ciągu polega na tym, że pomiędzy każdymi dwiema liczbami rozdzielonymi jedną liczbą występuje proporcja 2.618 oraz jej odwrotność, czyli 0.382.

d) Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej oddalonych od siebie. Na przykład dla liczb oddzielonych o trzy pozycje współczynniki wynoszą 4.236 i 0.236; liczby oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone współczynnikiem 6,853 i 0.146.- zniesienia.

3. Właściwości matematyczne ciągu Fibonacciego

Za pomocą szeregu funkcyjnego, który wytwarza pewien ciąg liczbowy lub funkcyjny, a kolejne wyrazy tego ciągu są współczynnikami w tym rozwinięciu, np. funkcja (1 – 2tx + t2) –1/2 jest tworzącą funkcją dla ciągów wielomianów Legendre'a Pn(x) rachunku macierzowego lub jednej z wielu innych metod, można dojść do zamkniętej formy dla ciągu Fibonacciego.
Fn = Fn-1 + Fn-2
φ2 = φ + 1
φ2 − φ − 1 = 0

4. Istotne współczynniki Fibonacciego

1 / 1.618 = 0.618
0.618 * 0.618 = 0.382
1.618 * 1.618 = 2.618
2.618 * 1.618 = 4.236
1 - 0.618 = 0.382
1.618 / 0.618 = 2.618
0.618 / 1.618 = 0.382, itd.

5. Złote proporcje.

Liczba 1.618 znana jest jako współczynnik „złotych proporcji” i zapisywana jest za pomocą 21-szej litery greckiego alfabetu phi (=∅).

6. Obliczanie ciągu Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego można numerycznie wyliczyć wprost z definicji,
– obliczamy wartości ciągu po kolei – F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie.

7. Graficzna reprezentacja dwójkowa

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają sie ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

8. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Wyznacza on zarówno kształty fizycznych struktur, jak i przebieg zmian w strukturach dynamicznych. Jednocześnie można stwierdzić, iż zjawiska, których struktura oparta jest na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność zmysłom wzroku i słuchu istot ludzkich. Dowodem na to może być to, że złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci, podobnie jak Botticelli. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.