Liczby pierwsze
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać 213466917-1. Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.
Po co szuka się takich olbrzymek? Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.
Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb: 23, 67, 89, 789, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np.: 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.
W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.
Liczby względnie pierwsze
Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych: 6 i 13 .
Liczby bliźniacze
Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykładami par liczb bliźniaczych są: 3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19.
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:
D6={1,2,3} 1+2+3=6
D28={1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28
D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście Euklides zauważył, że liczby postaci 2p-1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to 33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku.
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} więc 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142} więc 1+2+4+71+142=220
Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.
Liczby palindromiczne
Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...
Liczba złota
Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny".
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:
- aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,
- aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.
Liczby Fermata
Liczby postaci Fk = 22^k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną. Matematyk francuski P. de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.
Liczby Mersenne'a
Liczby postaci 2p-1, gdzie p jest liczba pierwszą. Przyjmując p = 2,3,5,7, otrzymujemy liczby Mersenne'a pierwsze, natomiast 211-1=2047=23*89 jest liczbą złożoną. Nie wiadomo, czy wśród liczb Mersenne'a jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie wiadomo też, czy wśród tych liczb jest nieskończenie wiele liczb złożonych. Liczby Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę, gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a pierwszą jest liczba 2216091-1, mającą w rozwinięciu dziesiętnym 65050 cyfr. Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej liczby doskonałej.
Liczby trójkątne
Liczby postaci tk=k(k+1)/2, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych. Nazwa liczby trójkątne pochodzi stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet. Przykłady liczb trójkątnych:
t1=1, t2=3, t3=6, t4=10.
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221:11=192.
Liczby Fibonacciego
Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich (tj. 1,1,2,3,5,8,13... ). Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa). Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.