Twierdzenie Pitagorasa

PITAGORAS z SAMOS, żył w latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o pitagoreizmie. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do boga. Matematyka i mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny konglomerat, z którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne późnych pitagorejczyków, ceniących tylko to, co mogło być dowiedzione na drodze rozumowej. W dziedzinie geometrii opracowali oni teorię równoległych wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Badali koło, wielościany foremne i kulę. Odkryli pięciokąt foremny, wiedzieli, że płaszczyznę można pokryć tylko następującymi wielokątami foremnymi: trójkątami równobocznymi, kwadratami albo sześciokątami. Udowodnili twierdzenie samego Pitagorasa, które głosi: "W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej" Zajmowali się także liczbami doskonałymi, to jest takimi, których suma dzielników od niej mniejszych jest równa danej liczbie, o ile liczba 1 jest dzielnikiem tej liczby. Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, 8128. Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej, np. 220 i 284. Zajmowali się proporcjami, lecz szczególnie dla dalszego rozwoju matematyki miało stwierdzenie istnienia odcinków niewspółmiernych. Odkrycie to ujawniło sprzeczności w systemie filozoficznym pitagorejczyków, według którego "wszystko jest liczbą", rozumianą jako liczba naturalna.

Uczniowie Pitagorasa odkryli także, że liczba "pierwiastek z 2" jest niewymierna. Odkrycie to starannie ukrywali przed współczesnymi. Pitagoras był również muzykiem, zbudował jednostrunowy instrument, za pomocą którego badał zależności pomiędzy dźwiękami. Od matematyków babilońskich przejął wiadomości o średniej arytmetycznej, geometrycznej oraz harmonicznej i zastosował je w muzyce. Pitagorejczycy szczególne znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było: "Liczba jest istotą wszystkich rzeczy". Od nich pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. W dziedzinie geometrii pitagorejczycy stworzyli teorię równoległych wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wieloboków foremnych. W szkole pitagorejskiej narodziły się trzy wielkie problemy matematyki starożytnej Grecji: podwojenie sześcianu, podział kąta na trzy równe części oraz kwadratura koła.



Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e), filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając lat 40 opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi.

Przebywał w Tracji, ostatecznie osiadł jednak w Wielkiej Grecji, gdzie w Krotonie założył szkołę filozoficzno-religijną i związek pitagorejski. Nie pozostawił po sobie żadnych dzieł, a te, które później rozpowszechniano w Grecji, były, jak podają historycy filozofii, apokryfami.

Stworzył system poglądów naukowych, nazwanych jego imieniem. Był to prawdopodobnie rezultat pracy wielu uczonych, określanych powszechnie mianem pitagorejczyków. Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył określenia filozofia w rozumieniu "miłość mądrości", dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a jedynie umiłowanie jej dostępne jest dla ludzi.

Pitagoras był kontynuatorem i reformatorem religii orfickiej, którą później zaczęto nazywać pitagoreizmem. Wprowadził pojęcie podobieństwa figur oraz ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii.

Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom, wierzył w harmonię w Kosmosie.

Samos, grecka wyspa na Morzu Egejskim, w archipelagu Sporady Południowej, u wybrzeży Turcji. Powierzchnia 476 km2, górzysta, najwyższy szczyt - Kerketefs (1444 m n.p.m.). 42 tys. mieszkańców (1991). Klimat śródziemnomorski.

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej

a2+b2=c2

Twierdzenie Pitagorasa możemy sformułować w inny sposób:

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Nawet najwięksi szkolni słabeusze wiedzą pod koniec podstawówki, że w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych).

Dlaczego? To proste:

Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch mniejszych kolorowych kwadratów można ułożyć duży kwadrat (środkowy rysunek). Ten sam duży kwadrat da się ułożyć z czterech trójkątów, doklejonych do czterech boków żółtego kwadratu. To zaś oznacza, że pole żółtego kwadratu jest równe sumie pól kwadratów niebieskiego i zielonego.