Środek ciężkości

Środek ciężkości
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.
Środek ciężkości ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.
Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.
Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy mk, każdy odległy od środka układu współrzędnych o wektor , to środek masy ciała można określić przez wektor:

Środek masy jest związany z gęstością ρ za pomocą zależności:

przy czym:
to wektor środka masy;
M = ∫ ρdV
V

M to masa ciała;
V to objętość ciała;
ρ = ρ(x,y,z) to funkcja gęstości ciała


Pojęcie środka masy
Dość powszechnie używanym pojęciem związanym z bryłami, ciałami sztywnymi (ale nie tylko z nimi) jest pojęcie środka masy.
Co to jest środek masy?
- najłatwiej zrozumieć pojęcie środka masy wychodząc od bardzo bliskiego mu środka ciężkości.
Przykład - doświadczalne wyznaczanie środka ciężkości:
Weźmy dowolny przedmiot o w miarę symetrycznych kształtach i postarajmy się podeprzeć go w jednym miejscu tak, aby go w całości utrzymywać.


Punkt podparcia (lub zawieszenia) spełniający warunek stabilności (nie przewracania się, nie przekręcania pod wpływem działającej siły ciężkości) utrzymywanego przedmiotu musi znajdować się dokładnie nad, lub pod środkiem ciężkości.


Jeśli ciało podeprzemy obok środka ciężkości, to będzie się ono przekręcało albo przewracało, ponieważ siła ciężkości działająca z jednej strony tego ciała będzie większa, niż z drugiej, jako że znajduje się tam większa ilość masy, lub masa ta jest położona dalej od punktu podparcia.


Niemal zawsze (wyjątek zdarzyłby się dopiero w niejednorodnym polu grawitacyjnym) środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Wyznaczanie środka masy (ciężkości) dla dwóch punktów materialnych
Stosunkowo łatwo wyznacza się środek masy dla układu dwóch punktów materialnych

Jest on przesunięty w stronę punktu o większej masie (idealna kula zachowuje się pod tym względem jak punkt). Dokładniej powiedzieć można, że odległości środka masy do punktów są odwrotnie proporcjonalne do mas tych punktów.

Iloczyn odległość od środka razy masa jest tu stały, czyli dwa razy większa masa jest dwa razy bliżej środka masy, niż położona z drugiej strony 2 razy mniejsza masa.
Można to zapisać wzorem:
M1R1 = M2R2
Lub
M1R1 - M2R2 = 0

W przypadku bardziej skomplikowanych układów punktów materialnych zawsze musi zachodzić:
Suma iloczynów MiRi po lewej stronie środka masy
=
Suma iloczynów MjRj po prawej stronie środka masy
Lub (w bardziej "naukowym zapisie) jeśli iloczyny z lewej strony liczymy z plusem, a z prawej z minusem (albo na odwrót, bo to tylko kwestia umowy):
Σ Mi Ri = 0

Przykład – obliczanie położenia środka masy
W jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się środek masy układu Ziemi – Księżyc? Czy jest on jeszcze w środku Ziemi, czy na zewnątrz naszej planety?
Dane:
Masa Ziemi: Mz ≈ 6 ∙ 1024 kg
Masa Księżyca: Mk ≈ 7.3 ∙ 1022 kg
Średnia odległość od Księżyca do Ziemi: d ≈ 3.84∙ 108 m
Średni promień Ziemi: RKuli_ziemskiej ≈ 6.37∙ 106 m

Szukamy:
x – odległości środka masy układu od środka Ziemi
Rozwiązanie
Z rysunku widać, że odległość Księżyca od środka masy układu wynosi
xk = d – x
Wielkości te będziemy podstawiali do wzoru:
MKRK = MZRZ
Przy czym:
Rz = x
Rk = xk = d – x
Dlatego:
MK ∙ (d - x) = MZ ∙ x
Wymnażamy nawias:
MK ∙ d - MK ∙ x = MZ ∙ x
Przenosimy MK ∙ x na lewą stroną (z przeciwnym znakiem)
MK ∙ d = MZ ∙ x + MK ∙ x
Wyciągamy x przed nawias
MK ∙ d = (MZ + MK) ∙ x
I ostatecznie dzielimy obie strony równania przez cały nawias zamieniając przy tym strony równania, aby z lewej strony mieć wielkość niewiadomą x:

Podstawiamy wielkości liczbowe:

Stąd:
x ≈ 4,6 ∙ 106 m
Ponieważ średni promień Ziemi: RKuli_ziemskiej ≈ 6,37∙ 106 m, więc widać, że środek masy układu Ziemia – Księżyc znajduje się we wnętrzu Ziemi (bo x < RKuli_ziemskiej).


P.S. Lepsza praca jest, jesli pobierzesz dokument. w doc. poniewaz tam są rysunki, i dla tego tutaj są odstępy !!