Równania

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń, z których przynajmniej jedno jest wyrażeniem algebraicznym.
Literę występującą w równaniu nazywamy niewiadomą
Jeżeli jakaś liczba po podstawieniu w miejsce niewiadomej daje równość prawdziwą, to mówimy, że liczba ta spełnia to równanie lub, że jest pierwiastkiem tego równania.
Rozwiązać równanie tzn. znaleźć wszystkie jego pierwiastki, udowodnić, że ich nie ma lub, że jest ich nieskończenie wiele.
Wszystkie liczby spełniające dane równanie tworzą zbiór rozwiązań tego równania.
Jeżeli dwa równania mają ten sam zbiór rozwiązań to mówimy, że są one równoważne.

Aby ułatwić sobie rozwiązywanie równań korzystamy z następujących twierdzeń
1. Jeżeli do obu stron równania dodamy lub odejmiemy tą samą liczbę lub wyrażenie to otrzymamy wyrażenie równoważne danemu
2. Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tą samą liczbę różną od zera to otrzymamy wyrażenie równoważne danemu

Stosują te reguły, rozwiązywane równanie zstępujemy innym – prostszym o takich samych pierwiastkach. A oto jak wygląda rozwiązanie równania 2x + 2 = 8 – x :

2x + 2 = 8 – x / + x
2 + 3x = 8 / - 2
3x = 6 / : 3
x = 2

Liczba 2 jest pierwiastkiem tego równania.

Zazwyczaj rozwiązanie kończymy sprawdzeniem. Podstawiając do obu stron wyjściowego równania liczbę, którą otrzymaliśmy w rozwiązaniu. W tym wypadku jest to liczba 2, czyli sprawdzenie będzie wyglądało tak :

L = 2x + 2 = 2 * 2 + 2 = 6
P = 8 – x = 8 – 2 = 6
L = P

Jeżeli w równaniu występują nawiasy, należy je usunąć wykonując przy tym odpowiednie działania a następnie zredukować wyrazy podobne.

3 * (2x – 1) + 2 = 4 (x + 2) – x /usuwamy nawiasy
6x – 3 + 2 = 4x + 8 – x /redukujemy wyrazy podobne
6x – 1 = 3x + 8

Tak przekształcone równanie możemy szybko rozwiązać stosując się do wcześniej już wymienionych reguł.

Możemy wyróżnić dwa rodzaje równań:
1. Tożsamościowe – posiadające nieskończenie wiele rozwiązań np.: x = x / każda liczba rzeczywista spełnia równanie
2. Sprzeczne – nie posiadające żadnego rozwiązania np.: x = x –2 / sprzeczność

Często w równaniach pojawiają się ułamki. Aby się ich pozbyć należy pomnożyć obie strony równania przez najniższą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków.
Np. kiedy w równaniu występują wyrażenia o mianownikach 2 i 3. Aby pozbyć się kresek ułamkowych, mnożymy obie strony równania przez 6 – Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb 2 i 3 (NWW 2,3).