Dzieje matematyki

Historia matematyki sięga czasów zamierzchłych, odkąd ludzie porównywali wielkości, mierzyli, liczyli przedmioty i wyciągali wnioski; w starożytnej Babilonii i Egipcie rozwinęła się technika rachunkowa, co doprowadziło do powstania zaczątków arytmetyki i algebry; w Babilonii liczono opierając się na systemie sześćdziesiątkowym. Poważniejszy rozwój matematyki zaczął się w Grecji, począwszy od prac Talesa z Miletu; matematykę grecką cechuje ujęcie geometrii, a jej szczytowym osiągnięciem są Elementy Euklidesa i prace Archimedesa, w których tkwiło już w sposób utajony pojęcie granicy, podstawowe dla całej późniejszej analizy matematycznej, oraz prace Diofantosa, w których spotyka się idee liczb ujemnych; w Grecji matematyka przekształciła się w naukę dedukcyjną. W średniowieczu matematykę uprawiali głównie uczeni arabscy, którzy rozpowszechnili w Europie stworzony przez Indusów pozycyjny (dziesiątkowy) system liczenia i rozwijali algebrę, której początki wiążą się m.in. z pracami matematyka arabskiegi Al-Chuwarizmiego (IX w.). Renesans matematyki zaczął się w XVI w. we Włoszech, gdzie G. Cardano, N. Taraglia i L. Ferrari podali metody rozwiązywania równań algebraicznych III i IV stopnia. Wiek XVII można uważać za początek matematyki nowożytnej powstała geometria analityczna (R. Descartes, P. Fermat),rachunek różniczkowy i całkowy (I. Newton, G.W. Leibniz), geometria różniczkowa, rachunek prawdopodobieństwa (Fermat, B. Pascal). W XVIII w. na czoło wysunęła się mechanika teoretyczna (L. Euler, J. Lagrange, P. Laplace), która dała początek teorii równań różniczkowych; rozwijała się nadal geometria różniczkowa, rachunek wariacyjny. W XIX w. A. Cauchy, C.F. Gauss i K. Weierstrass stworzyli podstawy teorii funkcji analitycznej, a Bolyai i Łobaczewski odkryli geometrię nieeuklidesową. W tym okresie nastąpił szybki rozwój algebry N.H. Abel i E. Galois rozstrzygnęli podstawowe problemy teorii równań algebraicznych; zwłaszcza prace Galois zapoczątkowały nowy nurt badań w algebrze, z którego wywodzi się współczesna algebra abstrakcyjna; przedmiotem jej badań są grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe; rozwijała się teoria funkcji rzeczywistych (Weierstrass) i arytmetyka teoretyczna (L. Kronecker, J. Dedekind).

Szczególnie istotne dla matematyki XIX w. było powstanie i gwałtowny rozwój teorii mnogości (G. Cantor), której głównym zadaniem było badanie zbiorów nieskończonych i która miała ogromny wpływ na dalszy rozwój matematyki, a także intensywny rozwój badań w dziedzinie logiki matematicznej i podstaw matematyki (G. Frege, G. Peano, D. Hilbert, K. Godel i in.). Na przeł. XIX i XX w. powstała topologia, 1902 nowa, ogólniejsza teoria całki i teoria miary (H. Lebesgue), o dużym znaczeniu dla analizy mat. i rachunku prawdopodobieństwa, oraz analiza funkcjonalna (1 poł. XX w., D. Hilbert, S. Banach, F. Riesz i in.), w której pojęciach umiejętnie są połączone struktury topologiczne ze strukturami algebraicznymi. Matematykę XX w. charakteryzuje szybko rosnący zasięg zastosowań obejmujących nie tylko nauki techniczne i przyrodnicze, ale też ekonomię i niektóre działy nauk humanistycznych; coraz większe znaczenie mają nowo powstałe dyscypliny, jak teoria masowej obsługi, statyst. kontrola jakości, teoria gier, teoria informacji; rozwija się i doskonali teoria i zastosowanie komputerów.


ARYTMETYKA

Dział matematyki zajmujący się teorią rachunków w ustalonych tworach algebraicznych (np. arytmetyka liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych, ale także arytmetyka liczb kardynalnych, wielomianów, macierzy itp.); w swych początkach arytmetyki była rozumiana jako nauka o liczbach i regułach działań nad nimi.


ALGEBRA

Jeden z najstarszych działów matematyki. Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arab. Al-Chuwarizmiego (IX w.) Hisab al-dżabar wa al-mukabala. Początkowo algebra była teorią rozwiązywania równań, potem zaliczano do niej wszelkie rozważania dotyczące rachunku na symbolach zmiennych. Przedmiotem badań współczesnej algebry są abstrakc. twory, takie jak: grupy, pierścienie, ciała, algebry Boole'a, przestrzenie liniowe i in. Istnieje ostatnio tendencja do formułowania problemów mat. w postaci algebraicznej; osiągnięte w ten sposób wyniki, łączące odległe pozornie działy matematyki, są często zaskakujące; wspomniana algebraizacja matematyki przyczynia się również do rozwoju samej algebry, która ma szerokie zastosowanie nie tylko w matematyce, ale też w fizyce i technice.

Przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem mnożenia elementów () takim, że wraz z działaniem dodawania (w przestrzeni liniowej) tworzy strukturę pierścienia i że dla dowolnego skalara oraz dowolnych elementów v, w przestrzeni zachodzi: (v w)= (av) w = v (w); algebrą jest np. zbiór wszystkich macierzy stopnia 2 o współczynnikach rzeczywistych ze zwykłymi działaniami dodawania, mnożenia i mnożenia przez skalar.


ANALIZA MATEMATYCZNA

Dział matematyki oparty na pojęciach funkcji i granicy; tradycyjnie obejmuje teorię granic ciągów i funkcji, szeregów liczbowych i funkcyjnych, rachunek różniczkowy i całkowy; do analizy matematycznej (rozumianej szerzej) zalicza się też analizę; funkcjonalną, funkcje analityczne, równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, równania całkowe, rachunek wariacyjny, geometrię różniczkową ; i in. Analiza matematyczna wyrosła ze stworzonego w XVII w. przez I. Newtona i G.W. Leibniza rachunku różniczkowego i całkowego; do dalszego rozwoju a.m. wybitnie przyczynili się m.in.: L. Euler, J.L. de Lagrange, P.S. Laplace, A.L. Cauchy, P.G.L. Dirichlet, K. Weierstrass. Dzięki skutecznym metodom i szerokim zastosowaniom analizy matematycznej pozostaje do czasów współcz. jednym z gł. działów matematyki.


GEOMETRIA ANALITYCZNA

Dział matematyki, w którym bada się własności figur geom. za pomocą metody współrz.; prekursorami g.a. byli P. Fermat i R. Descartes; ten ostatni jest uważany za twórcę g.a. (Geometrie 1637); obecna jej postać jest dziełem L. Eulera (Introductio in analysis infinitorum 1748). G.a. jest od stu lat dominującym sposobem uprawiania geometrii (także w zastosowaniach).


GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA

Dział geometrii, w którym do badania własności rozmaitych tworów geom. (np. krzywych, powierzchni) wykorzystuje się rachunek różniczkowy; geometria różniczkowa zajmuje się badaniem lokalnych ogólnych własności krzywych i powierzchni, także rodzin krzywych i powierzchni, wyrażonych równaniami w przestrzeniach trój- i więcej wymiarowych; przedmiotem klasycznej geometrii różniczkowej jest badanie tych własności tworów geom., które są niezmiennikami grupy ruchów ( ruch, mat.); nowsza geometria różniczkowa bada własności tworów geom. niezmiennicze względem przekształceń afinicznych (geometria różniczkowa afiniczna), rzutowych (geometria różniczkowa rzutowa) i in.; geometria różniczkowa zajmuje się również badaniem własności tworów geom. w wielowymiarowych przestrzeniach nieeuklidesowych, jak też badaniem samych tych przestrzeni odgrywają one ważną rolę w fizyce, zwł. w szczególnej i ogólnej teorii względności. Podstawowymi pojęciami geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni są m.in. pojęcia: stycznej, normalnej głównie, binormalnej, krzywizny, skręcenia ( Freneta trójścian), płaszczyzny ściśle stycznej, płaszczyzny stycznej, ewoluty, ewolwenty, współrz. krzywoliniowych na powierzchni, długości łuku, obu różniczkowych form podstawowych (określających wewn. geometrię metryczną powierzchni, czyli dających możliwość przeprowadzenia pomiarów długości łuków, kątów między liniami na powierzchni, pól części powierzchni itp.). Geometria różniczkowa w swoim rozwoju podlegała uogólnieniom w rozmaitych kierunkach; przyczyną tych uogólnień były m.in. potrzeby mechaniki, fizyki teoret. i techniki; wprowadzono pojęcie przestrzeni wielowymiarowej, badano rozmaite podzbiory tych przestrzeni, co doprowadziło do powstania ważnego pojęcia rozmaitości różniczkowej np. zwyczajna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej jest przykładem rozmaitości dwuwymiarowej (w szczególności sfera, torus); dalsze uogólnienia doprowadziły do wprowadzenia nowego ważnego pojęcia: przestrzeni Riemanna, której geometria jest na ogół nieeuklidesowa. Początki geometrii różniczkowej przypadają na 2 poł. XVII w. (prace: I. Newtona, G.W. Leibniza, Ch. Huygensa, Johanna i Jakoba Bernoullich i in.); podstawy teorii powierzchni zapoczątkowali L. Euler i G. Monge; wewn. geometrię powierzchni znacznie rozwinął C.F. Gauss; przełomowe były prace N.I. Łobaczewskiego, J. Bolyaia i B. Riemanna, zapoczątkowujące badania nad geometriami nieeuklidesowymi; dalszy rozwój geometrii różniczkowej następował w parze z rozwojem rachunku tensorowego.



TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rachunek prawdopodobieństwa, teoria matematyczna zajmująca się badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych); podstawowymi pojęciami teorii prawdopodobieństwa są: zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe (jako podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych) oraz prawdopodobieństwo, określone jako funkcja zdefiniowana na przestrzeni zdarzeń losowych i przyjmująca wartości w przedziale [0, 1]; w teorii tej zbiór zdarzeń losowych oraz prawdopodobieństwo muszą mieć pewne postulowane własności sformułowane w taki sposób, żeby tak zdefiniowane obiekty odzwierciedlały naturalne intuicje związane ze zjawiskami losowymi. Np. jeżeli A i B są 2 zdarzeniami losowymi, to zbiór będący mnogościową sumą zbiorów A i B jest także zdarzeniem losowym opisywanym jako A lub B, a jeżeli zdarzenia te wykluczają się wzajemnie, to prawdopodobieństwo tego, że zrealizuje się jedno z nich jest sumą prawdopodobieństw tych zdarzeń; prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zeru, a prawdopodobieństwo zdarzenia, które na pewno nastąpi, jest równe jedności. Zmienna losowa X w tej teorii jest określona jako funkcja na zbiorze zdarzeń elementarnych, taka że zbiór tych zdarzeń elementarnych, dla których przy danych liczbach rzeczywistych a i b zachodzi nierówność a X b, jest zdarzeniem losowym. Teoria prawdopodobieństwa początkowo powstała (ok. XVII w.) jako teoria gier hazardowych, szybko jednak została zastosowana we wszystkich tych dziedzinach nauki, w których odgrywa rolę przypadek; aksjomatykę teorii prawdopodobieństwa sformułował 1933 A.N. Kołmogorow; jej obecny rozwój jest w znacznym stopniu stymulowany problemami formułowanymi w technice, biologii, fizyce i chemii, ekonomii, medycynie, socjologii, psychologii i in. Pewien pomost między czystą teorią prawdopodobieństwa a jej zastosowaniami stanowi statystyka matematyczna.


TEORIA MNOGOŚCI

Teoria zbiorów, teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna nazwa zbioru); teoria mnogości powstała w 2. poł. XIX w., gł. dzięki pracom G. Cantora; na pocz. XX w. została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A. Fraenkel i in.); na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie podstawowe pojęcia mat., jak liczby (całkowite, wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi i naturalnym uporządkowaniem, funkcje, relacje itp.; dzięki temu każda teoria mat. może być potraktowana jako fragment teorii mnogości.


LOGIKA MATEMATYCZNA

Dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia) mat. oraz modeli teorii matematycznych. Początki logiki matematycznej sięgają 2 poł. XIX w. (G. Boole, Ch. Peirce, G. Peano), ale jej uformowanie się i rozwój przypadają na w. XX (G. Frege, D. Hilbert, B. Russell). Najciekawsze odkrycia w logice matematycznej poczynili K. Godel i A. Tarski w latach 30. Oprócz logiki ogólnej (obejmującej także logikę intuicjonistyczną, logiki modalne i in.) wyodrębnia się w logice matematycznej następujące działy: teorię modeli, badającą związki między zbiorami zdań (formuł) a ich modelami, a także podającą konstrukcje modeli o specjalnych własnościach (Tarski, R. Vaught, T. Skolem); teorię rekursji, badającą efektywność konstrukcji mat. i log. oraz rozstrzygalność teorii; teoria ta bazuje na pojęciu funkcji obliczalnej (rekurencyjnej) wprowadzonym przez Godla i niezależnie przez A. Turinga (Godel, E. Post, A. Church); teorię dowodu, badającą strukturę dowodów mat. i zagadnienia konstruktywności w matematyce (D. Hilbert, J. Herbrand, L.E.J. Brouwer, G. Gentzen).