Przechodzenie od postaci ogólnej trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej.

Chciałem w tej pracy pokazać Wam jeden z tematów jaki obowiązuje w materiale Szkoły Średniej, a mianowicie przechodzenie z postaci ogólnej trójmianu kwadratowego do postaci kanoniczną tego trójmianu.

Na wstępie zaznaczam, że będzie to wywód dla uczniów słabych - takich, którzy mają kłopoty z najprostszymi przekształceniami. Dlatego też uczniowie "bardziej zaawansowani" w matematyce mogą stwierdzić, że praca ta jest po prostu... nudna (gdyż wszystko podane jest za szczegółowo).

Na początek wprowadźmy sobie kilka oznaczeń:
x^2 - będzie oznaczało x podnoszone do drugiej potęgi (czyli potocznie: x do kwadratu)
x <> 0 - takim symbolem zapiszemy, że x jest różne od zera

A teraz przejdźmy do konkretów:

Postać ogólna trójmianu kwadratowego, to postać:

ax^2 + bx + c (gdzie: a <> 0; b,c - dowolne rzeczywiste)

i od tej postaci zaczniemy nasze wyliczenia.
Natomiast postać kanoniczna wygląda tak:

a(x - p)^2 + q (gdzie (p; q) to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej; a <> 0)

Przejście od jednej postaci do drugiej wykonamy dwoma sposobami (algebraicznie i z wykorzystaniem wzorów) - obydwie te metody obowiązują uczniów Szk. Śr.

METODA 1 (algebraiczna)
=================

ax^2 + bx + c = ....

tutaj wyłączymy przed nawias czynnik a - możemy tego dokonać, gdyż pamiętajmy, że a <> 0,

... = a[x^2 + (b/a)x + c/a] = ...

nastepnie z drugiego i trzeciego wyrażenia w nawiasie postaramy się "skonstruować" wzór skróconego mnożenia (który penie wszyscy świetnie znają:-)) na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, czyli (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 (**). Zastosujemy tutaj pewne proste "tricki":-))
Tak więc:

... = a[x^2 + 2*x*(1/2)*(b/a) + ....

w tym momencie przerwę swój wywód, aby pewną rzecz wyjaśnić (odnośnie tego drugiego wyrażenia w nawiasie). Otóż po kolei: 2 pojawiło się, gdyż musi znależć się w naszym wzorze, a ponieważ wcześniej go nie było, a my nie możemy tak zmienić sobie wartości wyrażenia, więc dalej następuje mnożenie przez 1/2. Wten sposób (ponieważ 2 *(1/2)=1) nie zmianimy wartości wyrażenie. Poza tym z postaci tego wyrazu możemy odczytać drugi składnik, jaki będzie występował we wzorze, do którego chcemy doprowadzić - jest to mianowicie "pozostałość" w wyrazie 2*x*(1/2)*(b/a), czyli wyrażenie (1/2)*(b/a)=b/(2a)

... + (b/(2a))^2 - (b/2a)^2 + c/a] = ...

i znów wyjaśnienie: Ten pierwszy wyraz, to kontynuacja wzoru, do którego dążymy, a ponieważ ten wyraz pojawił się tutaj dodatkowo, więc odejmujemy go, aby nie zmienić wartości wyrażenia. Teraz do trzech pierwszych wyrazów w nawiasie stosujemy wzór oznaczony wcześniej (**):

... = a[(x + b/(2a))^2 - (b/2a)^2 + c/a] = ...

teraz wykonamy podnoszenie do kwadratu wyrazu środkowego:

... = a[(x + b/(2a))^2 - (b^2)/(4a^2) + c/a] = ...

następnie wymnożymy to nasze początkowe a przez wszystkie wyrazy w nawiasie kwadratowym, otrzymując:

... = a(x + b/(2a))^2 - (b^2)/(4a) + c = ...

ostatnie dwa wyrażenia sprowadzimy do wspólnego mianownika:

... = a(x + b/(2a))^2 - (b^2)/(4a) + (4ac)/(4a) = ...

Wyrazy o wspólnym mianowniku możemy zapisać na jednej kresce ułamkowej. Zwróćcie uwagę tutaj na znaki (przed ułamkiem pozostanie minus, a więc znak przed drugim wyrazem zmieni się na przeciwny - tutaj mnóstwo uczniów POPEŁNIA BŁAD ZE ZNAKIEM!!!)

... = a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a) = ...

Wyrażenie b^2-4ac zna chyba każdy uczeń Szkoły Średniej - jest to bowiem tzw. wyróżnik trójmianu kwadratowego zwany w skrócie delta, czyli

... = a(x + b/(2a))^2 - delta/(4a) = ...

i teraz wystarczy zastosować tutaj znane wzory na współrzędne wierzchołka paraboli, a mianowicie:

p = -b/(2a) oraz q = -delta/(4a) (****)

Otrzymamy wtedy:

... = a(x - p)^2 + q a to jest właśnie nasza szukana postać kanoniczna.

To wszystko może być trochę zagmatwane, ale trzeba po prostu dobrze przeanalizować. Może pomoże Wam w tym konkretny przykład liczbowy, który przytaczam poniżej (tym razem już tylko same obliczenia - bez komentarzy):

2x^2 + 5x + 7 =
= 2[x^2 + (5/2)x + 7/2] = 2[x^2 + 2*x*(1/2)*(5/2) + (5/4)^2 - (5/4)^2 + 7/2] = 2[(x + 5/4)^2 - 25/16 + 7/2] = 2(x + 5/4)^2 - 25/8 + 7 = 2(x + 5/4)^2 - 25/8 + 56/8 = 2(x + 5/4)^2 - (25 - 56)/8 = 2(x + 5/4)^2 - (-31)/8 =
= 2(x + 5/4)^2 + 31/8

Tak więc nasza parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych (p; q) = (-5/4; 31/8)

METODA 2 (z zastosowaniem wzorów)
=========================

Metoda ta jest dużo prostsza - polega tylko na zastosowaniu wzoru na deltę (delta = b^2 - 4ac) oraz wzorów oznaczonych w poprzedniej części poprzez (****).

Wyjaśnimy do najlepiej na tym samym przykładzie:

2x^2 + 5x + 7 - jest to postać ogólna (postać początkowa)

delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*7 = 25 - 56 = -31
p = -b/(2a) = -5/(2*2) = -5/4
q = -detta/(4a) = -(-31)/(4*2) = 31/8

tak więc postać kanoniczna: 2[x - (-5/4)]^2 + 31/8 = 2(x + 5/4)^2 + 31/8

Mam nadzieję, że jest to dość jasne (a przynajmniej takie się może okazać po dokładnym przeanalizowaniu).
W razie pytań lub wątpliwości piszcie na mail'a.

Pozdrawiam wszystkich bardzo serdecznie

Celorek