Walec, stożek, kula

Matematyka

Walec jest to bryła ograniczona powierzchnią cylindryczną o kierującej zamkniętej oraz dwiema płaszczyznami równoległymi stanowiącymi podstawy walca. Za kierującą powierzchni walcowej można przyjąć kontur którejkolwiek z podstaw walca.

Dla dowolnego walca:

M = sl = ph, gdzie s oznacza długość obwodu przekroju normalnego,
l ? tworzącą walca, p ? długość obwodu podstawy, h ? wysokość walca.
V = Ql = Fh, gdzie Q oznacza pole przekroju normalnego, a F ? pole podstawy walca.

Walec obrotowy ma w podstawie koło, a tworzące są prostopadłe do płaszczyzny podstawy:

M = 2?rh, S = 2?r (r h), V = ?rkwadrat h,

gdzie r to promień podstawy, a h ? wysokość walca.

Walec obrotowy ukośnie ścięty. Podstawa eliptyczna ma półosie b = r
i a = pierwiastek z [ r kwadrat [1/2(h2 ? h1)]kwadrat], gdzie r jest promieniem walca,
a h1 i h2 oznaczają najmniejszą i największą tworzącą walca ściętego.

Pole podstawy eliptycznej F?:

F? = ?ab, M = ?r (h1 h2), S = ?r (r a h1 h2), V = 1/2 ?r kwadrat (h1 h2).

Ścinek walca obrotowego (a = 1/2? w radianach):

V = h/3b [a (3r kwadrat ? a kwadrat) 3r kwadrat(b ? r)?] = hr do trzeciej/b (sin? ? sin do trzeciej ?/3 ? ?cos?),

M = 2rh/b [(b ? r) ? a].

Wzory pozostają prawdziwe w przypadku gdy b > r, ? > ?.

Stożek ograniczony jest powierzchnią stożkową o kierunkowej zamkniętej oraz płaszczyzną stanowiącą podstawę stożka. Za kierującą powierzchni stożkowej można przyjąć kontur podstawy stożka. Dla dowolnego stożka V = 1/3 Fh.

Stożek obrotowy ma w podstawie koło, którego środek jest spodkiem wysokości stożka:

M = ?rl = ?r pierwiastek z (r kwadrat h kwadrat), S = ?r (r l), V = 1/3 ?r kwadrat h,

Gdzie r jest to promień podstawy, h ? wysokość, a l ? tworząca stożka.

Stożek obrotowy ścięty:

l = pierwiastek z [h kwadrat (R ? r)kwadrat], M = ?l (R r),

V = 1/2 ?h (R kwadrat r kwadrat Rr), H = h hr/R ? r = hR/R ? r.

Kula. R to promień kuli, D = 2R ? średnica kuli. Każdy przekrój płaszczyzną jest kołem. Koło wielkie (o promieniu R) jest to przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. Przez każde dwa punkty kuli ( nie będące przeciwległymi końcami średnicy) można zawsze poprowadzić jedno i tylko jedno koło wielkie. Mniejszy łuk tego koła wielkiego stanowi najkrótszą odległość na kuli pomiędzy danymi punktami.

Pole powierzchni kuli:

S = 4 ?R kwadrat ? 12,57R kwadrat, S = ?D kwadrat ? 3,142D kwadrat,

S = pierwiastek trzeciego stopnia z (36 ?V kwadrat) ? 4,836 pierwiastek trzeciego stopnia z V kwadrat.

Objętość kuli:

V = 4/3 ?R do trzeciej ? 4,189R do trzeciej, V = 1/6 ?D do trzeciej ? 0,5236D do trzeciej,

V = 1/6 pierwiastek z (S do trzeciej/ ?) ? 0,09403 pierwiastek z S do trzeciej.

Promień kuli:

R = ? pierwiastek z (S/ ?) ? 0.2821 pierwiastek z S,

R = pierwiastek trzeciego stopnia z (3V/4 ?) ? 0,6204 pierwiastek trzeciego stopnia z V.

Odcinek kuli:

a kwadrat = h (2R ? h), M = 2 ?Rh = ? (a kwadrat h kwadrat) = xl kwadrat,

S = ? (2Rh a kwadrat) = ? (h kwadrat 2a kwadrat), V = 1/6 ?h (3a kwadrat h kwadrat) = 1/3 ?h kwadrat (3R ? h).

Wycinek kuli:

S = ?R (2h a), V = 2/3 ?R kwadrat h.

Warstwa kulista:

R kwadrat = a kwadrat (a kwadrat ? b kwadrat ? h kwadrat/2h) kwadrat, M = 2 ?Rh, S = ? (2Rh a kwadrat b kwadrat),

V = 1/6 ?h (3a kwadrat 3b kwadrat h kwadrat).

Jeżeli przez V1 oznaczymy objętość stożka ściętego wpisanego w warstwę kulistą, to V ? V1 = 1/6 ?hl kwadrat, gdzie l jest tworzącą stożka.