Logika

Elementy logiki matematycznej

Zdaniem w matematyce nazywamy takie zdanie w sensie gramatycznym, o którym można jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Wartość logiczną zdania prawdziwego oznaczamy przez 1, zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdania na ogół oznaczamy literami: p, q, r,….
Funkcją zdaniową (formą zdaniową) nazywamy wyrażenie, które po wstawieniu w miejsce zawierające zmienną x dowolnego elementu należącego do dziedziny staje się zdaniem logicznym.

Negacja (zaprzeczenie) zdania p - zdanie „nieprawda, że p” oznaczamy:

p ~ p
1
0 0
1

Koniunkcja zdań p i q – zdanie „p i q” oznaczamy:
Alternatywa zdań p i q – zdanie „p lub q” oznaczamy


Implikacja (wynikanie) zdań p i q – zdanie „jeżeli p, to q” oznaczamy:
Równoważność zdań p i q – zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” oznaczamy:


PRAWA RACHUNKU ZDAŃ - TAUTOLOGIE

Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących.

KWANTYFIKATORY
Kwantyfikator ogólny
- zwrot „dla każdego x należącego do….”

Kwantyfikator szczegółowy
- zwrot „istnieje takie x należące do…”

Prawa de'Morgana dla kwantyfikatorów:


SYMBOLIKA

DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Suma zbiorów
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących do zbioru A lub do zbioru B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A B

Różnica zbiorów
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów należących do zbioru A i nie należących do zbioru B. Różnicę zbiorów zapisujemy w postaci A \ B

Iloczyn zbiorów
Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów zapisujemy symbolem A B

Dopełnienie zbioru do przestrzeni
Jeżeli jest ustalonym zbiorem i A jest podzbiorem właściwym zbioru to różnicę zbiorów i A nazywamy dopełnieniem zbioru A względem zbioru . Dopełnienie zbioru A oznacza się symbolem A'.
A A' = A' = \ A