Funkcje

Jeżeli dane jest działanie , które jest łączne to potęgę an gdy n jest naturalne definiuje się jako iloczyn . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie.
Gdy to działanie jest odwracalne to można zdefiniować potęgowanie, gdy wykładnik jest dowolną liczbą całkowitą:
• a0 jest równe 1
• a − n = bn, gdzie b jest odwrotnością a.
Wynika z tego, że 00 = 1 w dowolnej strukturze algebraicznej. Jednak przy definicji analitycznej przypadek ten traktowany jest inaczej.
Tak określone potęgowanie ma następujące własności:

Gdy działanie jest przemienne to zachodzi także:

Wszystkie związki zachodzące w algebrze:

Równość


Liczby rzeczywiste są to liczby, które reprezentują wartości ciągłe (wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest przez symbol lub po prostu R. Pojęcie liczby rzeczywistej określa wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki..

Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). W matematyce nie ma zgody co do tego czy liczby naturalne to 0, 1, 2, 3,
Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera oraz samo zero, co możemy zapisać w następujący sposób:

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy zwykle symbolem .

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Innymi słowy liczby wymierne to liczby rzeczywiste, które mają skończone, bądź okresowe (od pewnego miejsca) rozwinięcia dziesiętne. Zbiór liczb wymiernych najczęściej oznacza się przez . Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem brzegowym, dopełnieniem tego zbioru są liczby niewymierne:
Pojęcia zbiór; element zbioru, zaliczamy do pojęć elementarnych (nie definiujemy),
A, B, C,...- Symbole zbiorów, a, b, c,... - Symbole elementów zbioru,

- czytamy "a należy do ( jest elementem) zbioru A."

- czytamy " c nie należy do (nie jest elementem) zbioru A."

- czytamy " zbiór elementów x spełniających formę zdaniową p(x)."
• Zbiór pusty - Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy go
• Zbiór skończony-Zbiór jest skończony, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że ten zbiór ma n elementów
• Zbiór nieskończony - Zbiór, który nie jest skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.
• Zbiór liczbowy ograniczony- Zbiór liczbowy A nazywamy ograniczonym
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje tak liczba x, że każdy element a należący do zbioru A spełnia warunek:
o - zbiór jest ograniczony z góry
o - zbiór jest ograniczony z dołu
Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest ograniczony z dołu i z góry
Liczby niewymierne to te liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi. Oznacza to, że liczby niewymiernej nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Ogólnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład , są liczbami niewymiernymi.