Dowody twierdzenia Pitagorasa

Oto interpretacja geometryczna: jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Odkrycie tego twierdzenia w naszym (zachodnio-europejskim) kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.
Liczba istotnie różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur.

Dowód układanka
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c. Konstruujemy kwadrat o boku długości (a + b). Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratow jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.
Wersja przestrzenna
Wersja przestrzenna Twierdzenia Pitagorasa wygląda tak:
W prostopadłościanie kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech jego boków.
Dowód Garfielda
Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje: na przyprostokątnej BC = a danego trójkąta prostokątnego ABC odkładamy CD = AB = b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy BC = a. Trójkąt ACE jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi AC2 / 2 = c2 / 2; pola trójkątów ABC i CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie . Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu (b + a)(a + b) / 2. Stąd równości:



a2 + b2 = c2.

Dowód czysto geometryczny
Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.
Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu ACJK jest równe podwojonemu polu trójkąta KAB – podstawą trójkąta KAB jest bok KA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta CAE – podstawą trójkąta CAE jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty KAB i CAE są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – KA = CA, AB = AE i kąt KAB jest równy kątowi CAE – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu ACJK jest równe polu prostokąta AEGD.
Analogicznie (rozważając trójkąty CBF i HBA można udowodnić, że pole kwadratu CBHI jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu AEFB.