Matematyka
„Uciszyła cierpienie niegruntowana w swej piękności rozkosz matematycznego poznania, prostota spraw jasnych, przejrzystych jak powietrze....”
St. Żeromski („Uroda życia”)
Pierwotnie, w starożytności, nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach geometrycznych (geometria), która rozwinęła się na gruncie filozofii na przełomie V i IV w. p.n.e. dzięki tzw. "matematykom" w szkole "młodych pitagorejczyków", do których należeli m.in.: Archytas z Tarentu, Eudoksos z Knidos, Eurytas. W ruchu tym uczestniczyli także Anaksagoras, Demokryt, a potem Platon i Arystoteles. Obecnie ogół teorii dedukcyjnych dotyczących abstrakcyjnych obiektów.
Każda teoria matematyczna posiada pewne aksjomaty oraz dedukcyjnie wyprowadzone z nich twierdzenia. W tym sensie teoria matematyczna jest zbiorem aktualnie poznanych konsekwencji pewnych aksjomatów. Początki matematyki jako technik rachunkowych rozwinęły się w Babilonii (m.in. system sześćdziesiątkowy stosowany w mierze czasu i kątów do dziś) i Egipcie. Znaczący wkład w rozwój matematyki wnieśli Grecy (Tales z Miletu, Euklides, Archimedes, Heron z Aleksandrii, Pitagoras). W wiekach średnich matematyka rozwijała się głównie w kręgu kultury hinduskiej i arabskiej (liczba, dziesiętny system liczbowy), pod koniec średniowiecza osiągnięcia arabskie zostały rozpropagowane w kręgu kultury europejskiej (Leonardo z Pizy). W XVI i XVII w. matematyka gwałtownie rozwijana była w Europie (teoria rozwiązywania równań algebraicznych, początki rachunku różniczkowego i całkowego (rachunek całkowy), początki rachunku prawdopodobieństwa. G. Cardano, R. Descartes, P. Fermat, I. Newton, G.W. Leibnitz, J. Bernoulli, B. Pascal). Wiek XVIII przyniósł dalszy rozwój matematyki głównie w zastosowaniach fizycznych (teoria równań różniczkowych: L. Euler, J. Lagrange, P.Laplace).
Późniejszy rozwój matematyki to jej znaczne sformalizowanie, wyabstrahowanie i uogólnienie (analiza matematyczna, algebra abstrakcyjna, geometria, teoria mnogości, topologia. G. Cantor, A.L. Cauchy, C.F. Gauss, K. Weierstrass, N.H. Abel, E. Galois, L. Kronecker, G. Peano, N.I. Łobaczewski, G. Riemann, H. Minkowski, D. Hilbert, S. Banach). Współcześnie intensywnie rozwija się matematyka stosowana (np. statystyka, cybernetyka, teoria gier).
Geometria
Powstały jeszcze w starożytności dział matematyki, silnie rozwinięty w XIX i XX w., zajmujący się własnościami przestrzeni (płaszczyzn) i obiektów w niej zawartych. Podwaliny geometrii dali Tales z Miletu, Euklides, oraz Archimedes. Metody analizy matematycznej wprowadził do geometrii R. Descartes, zapoczątkowując rozwój geometrii analitycznej. W XVIII w. zostały wprowadzone do geometrii elementy rachunku różniczkowego (geometria różniczkowa). Istnieje ponadto geometria wykreślna zajmująca się metodami graficznego przedstawienia brył i geometria rzutowa zajmująca się właściwościami rzutów perspektywicznych.
Silnym impulsem rozwoju geometrii stały się odkrycia geometrii nieeuklidesowych (tj. możliwości istnienia różnych przestrzeni: zakrzywionych, nieeuklidesowych), oraz przestrzeni wielowymiarowych. Prekursorem tworzenia geometrii zakrzywionej przestrzeni był C.F.Gauss, pierwszą geometrię nieeuklidesową stworzył N. Łobaczewski (geometria Łobaczewskiego), jej uogólnienie przedstawił G. Riemann. Jednym z najsilniej rozwijanych obecnie zagadnień w geometrii jest topologia.
Okrąg
Zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od pewnego wybranego punktu O jest stała i wynosi R (promień okręgu). Zapis symboliczny: o(O, R). Równanie okręgu ma postać
(x-Ox)2+(y-Oy)2=R2.
Długość okręgu wynosi 2R. Obszar ograniczony okręgiem jest kołem.
Prosta przecinająca okrąg w jednym punkcie jest styczną, przecinająca w dwóch punktach jest sieczną, odcinek zawarty pomiędzy punktami przecięcia nazywa się cięciwą, najdłuższa cięciwa (o długości 2R) jest średnicą o.
Punkt
Pojęcie pierwotne geometrii, obiekt bezwymiarowy, o określonym położeniu w przestrzeni wyznaczonym np. przez położenie jego promienia wodzącego, przecięcie dwóch różnych prostych lub trzech nierównoległych płaszczyzn.
Wielokąt
Obszar płaszczyzny ograniczony zamkniętą łamaną. Jej odcinki są bokami wielokąta, a ich końce - jego wierzchołkami, kąty pomiędzy bokami zawarte w obszarze wielokąta to kąty wierzchołkowe. Suma kątów wierzchołkowych wielokąta o n nie przecinających się bokach równa jest
(n - 2) rad = (n - 2)180.
Klasą wielokątów są wielokąty foremne o równych wszystkich bokach i wszystkich kątach wierzchołkowych.
Odcinek
W matematyce część prostej zawarta pomiędzy dwoma punktami należącymi do niej.
Prosta
jedno z pojęć pierwotnych geometrii. Przy innym niż standardowy wyborze pojęć pierwotnych definiowana np. jako zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od wybranych dwóch punktów.
Własności (w płaskiej, euklidesowej przestrzeni): prostą wyznaczają jednoznacznie dwa należące do niej, różne od siebie punkty. Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych. Dwie proste równoległe nie mają punktów wspólnych lub mają ich nieskończenie wiele (gdy się pokrywają). Przez jeden punkt nie należący do danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej.
Prostą na płaszczyźnie opisuje równanie:
Ax + By + C = 0
(A i B są składowymi wektora prostopadłego do prostej, C - stała, zmiana jej wartości odpowiada równoległemu przesuwaniu prostej), równanie to można sprowadzić do postaci
y = ax + b,
gdzie: a = -A/B, b = - C/B (funkcja liniowa).
We współrzędnych biegunowych równanie prostej ma postać:
r = p/{cos (-)},
gdzie r =r i to bieżące współrzędne biegunowe punktu prostej, p - odległość prostej od początku układu, - kąt określający kierunek wektora r, gdy r = p.
Prosta może być ponadto określona przez jej równanie parametryczne postaci:
x = xo + t, y = yo + t,
równanie dla prostej przechodzącej przez dwa różne punkty o współrzędnych (x1, y1), (x2, y2) postaci
y-y1 = (y2-y1)( x-x1)/( x2-x1),
lub tzw. równanie odcinkowe
x/p+y/q = 1,
gdzie: (p,0) i (0, q) są punktami przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych.
Na płaszczyźnie dwie proste mogą być identyczne, równoległe, lecz nie identyczne, przecinające się. W przestrzeni istnieją ponadto proste skośne - nie przecinające się proste należące do różnych płaszczyzn.
Odległość
W geometrii nieujemna liczba rzeczywista przyporządkowana dwóm punktom przestrzeni. Dokładny sposób tego przyporządkowania określa metryka przestrzeni.
Absolutna geometria
Teoria oparta na twierdzeniach wynikających wyłącznie z czterech pierwszych grup aksjomatów geometrii (podanych przez D. Hilberta 1898), pomijając postulat równoległości Euklidesa. Twierdzenia geometrii absolutnej sprawdzają się zarówno w geometrii Łobaczewskiego, jak w geometrii euklidesowej.
Euklidesowa geometria
Sformułowany w podstawach przez Euklidesa zbiór pojęć i twierdzeń geometrycznych dla płaskiej przestrzeni opartych na systemie pięciu aksjomatów.
Najważniejszym aksjomatem jest tzw. aksjomat piąty (postulat równoległości) głoszący:, jeżeli dwie proste na płaszczyźnie a i b przecina trzecia c, tworząc po jednej stronie sumę kątów mniejszą od kąta półpełnego (180 lub radianów), to proste a i b przetną się po tej samej stronie.
Afiniczna geometria
geometria, w której bada się tzw. afiniczne własności figur geometrycznych, tj. te ich własności, które są niezmiennicze względem przekształceń afinicznych.
Aksonometria
dział geometrii zwany perspektywą równoległą. Zajmujące się rysowaniem na płaszczyźnie figur przestrzennych (w jednym rzucie równoległym). Wyróżniamy perspektywę kawalerską, w której wszystkie układy płaskie równoległe do rzutni YaXa są odwzorowane bez zniekształceń, w prawdziwym kształcie i wojskową, w której wszystkie układy płaskie równoległe do rzutni XaYa są odwzorowane bez zniekształceń.
Analityczna geometria
Dział matematyki, który zajmuje się badaniem własności figur geometrycznych i metodami algebry. Za prekursorów geometrii analitycznej uznaje się P. Fermata i R. Descartesa. Duże zasługi dla rozwoju geometrii analitycznej położył też I. Newton. Geometria analityczna ma szerokie zastosowanie nie tylko w samej matematyce, ale m.in. w fizyce, chemii i technice.
Euklidesowa przestrzeń
Trójwymiarowa płaska (tj. niezakrzywiona) przestrzeń, w której spełnione są prawa geometrii Euklidesowej, w szczególności odległość S pomiędzy dwoma punktami A(AX,AY,AZ) i B(BX,BY,BZ) dana jest wyrażeniem:
Przestrzeń Euklidesowa jest przestrzenią fizyki klasycznej (Newtonowskiej). W euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej odległość pomiędzy punktami A(a1,a2,a3) i B(b1,b2,b3) wyraża się wzorem:
Algebra
Dział matematyki powstały już w starożytności, rozwijany w wiekach średnich w kręgu kultury arabskiej, a w Europie po XV w. Zajmuje się teorią działań matematycznych, metodami rozwiązywania równań, rachunkiem macierzowym i wektorowym. Rozwój algebry wpływał na kształtowanie się pojęcia liczby.
Algebra logiki, logicznie zbudowany przez G. Boole'a rachunek nazw, w którym stosunki i działania pojęte były na wzór stosunków i działań algebraicznych
Algebraiczna funkcja, każda funkcja y= f(x), która spełnia równanie W(x, y)= 0, gdzie W jest wielomianem dwóch zmiennych.
pierwiastek, w matematyce (dla liczb rzeczywistych):
1) pierwiastek algebraiczny stopnia b z liczby a, każda taka liczba y, że yb = a, gdzie b jest nieujemne. Zapis:
zazwyczaj b jest liczbą naturalną, gdy b = 2 zapis upraszcza się do:
Pierwiastek algebraiczny jest w ogólności relacją wieloznaczną, np.:
2) pierwiastek arytmetyczny stopnia b z liczby a, równy pierwiastkowi algebraicznemu dodatniemu. Pierwiastek arytmetyczny jest relacją jednoznaczną (pierwiastkowa funkcja).
3) pierwiastek równania, każda liczba będąca rozwiązaniem danego równania.
4) pierwiastek wielomianu, inaczej: miejsce zerowe wielomianu, tj. punkt przecięcia wykresu wielomianu i osi odciętych.
Funkcja, jest to relacja R przyporządkowująca każdemu elementowi zbioru A dokładnie jeden element zbioru B. Jeżeli A i B są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, to funkcja jest funkcją rzeczywistą jednej zmiennej; jeśli A zawiera pary, trójki itp. liczb rzeczywistych to, funkcja jest funkcją rzeczywistą wielu zmiennych; jeśli A i B są podzbiorami zbioru liczb zespolonych, to funkcja jest funkcją zespoloną.
Podstawowymi właściwościami funkcji jest jej określoność (dziedzina) oraz, to czy jest (ewentualnie gdzie nie jest): ciągła, różniczkowalna (istnienie pochodnej), monotoniczna, parzysta, gdzie posiada miejsca zerowe, ekstrema, punkty przegięcia itd.
Funkcja addytywna, funkcja f, której wartość dla sumy argumentów równa się sumie jej wartości dla poszczególnych argumentów: f(x+y) = f(x)+f(y). np. funkcją addytywną jest funkcja f(t) = 7t.
Funkcja ciągła, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie a, jeżeli jest w nim określona oraz istnieje granica lewostronna i prawostronna tej funkcji w punkcie a i jest ona równa wartości funkcji f(a) dla tego punktu.
Jeśli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie należącym do jej dziedziny, to jest funkcją ciągłą.
Funkcja wykładnicza, funkcja postaci f(x)= ax (a>0 i a1). Szczególnym, bardzo istotnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna f(x)=ex=exp(x), gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego.
Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych R, jest ciągła, różniczkowalna, monotoniczna (dla 0
Funkcja falowa, podstawowa wielkość opisująca stan układu kwantowego (położenie cząstki w przestrzeni w danej chwili czasu) w ujęciu nierelatywistycznym lub w prostych układach relatywistycznych (np. cząstka swobodna lub w słabym polu).
Opis ma charakter probabilistyczny. Kwadrat modułu funkcji falowej dla danych wartości zmiennych określa prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie określonym przez te zmienne.
Funkcja falowa jest dana funkcją zespoloną, określona jest z dokładnością do fazy. W ujęciu nierelatywistycznym funkcja falowa spełnia równanie Schrdingera (w relatywistycznym, np. równanie Diraca).
Funkcja elementarna, funkcja dana przez skończoną kombinację działań arytmetycznych na funkcjach trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, wielomianowych, logarytmicznych, wykładniczych, pierwiastkowych itp. (W odróżnieniu od funkcji specjalnych danych przez nieskończone szeregi).
WIELCY MATEMATYCY
Apoloniusz z Pergi (ok. 262 – 200r. p.n.e.)
Był jednym z najwybitniejszych matematyków starożytnej Grecji. Studiował matematykę w sławnej Szkole Aleksandryjskiej u uczniów Euklidesa. Jego najważniejszym dziełem była „Konica” – dzieło o krzywych stożkowych, które przyniosło mu miano WIELKIEGO GEOMETRY. „Konica” składała się z ośmiu ksiąg, z których cztery zachowały sięw języku greckim, trzy w tłumaczeniu hebraiskim. Ostatnia ósma – zaginiona została odtworzona przez Halleya na podstawie komentarzy o niej. Siedem pierwszych ksiąg zawiera 387 skomplikowanych twierdzeń, które dopiero po 2000 latach dało się uprościć. Był też astronomem i filozofem.
Wraz ze śmiercią Apoloniusza kończy się plejada wielkich matematyków starożytności, wśród których wyróżnić możemy m.in.: Archimedesa, Euklidesa, czy też Pitagorasa.
Muhammed Ibn Musa Alchwarizmi (al-Khwarizmi, al-Chorezmi), (ok. 800r)
Azja Środkowa w okresie od IX do XVw. Dała światu wielu uczonych. Muhammed urodził się na terenach obecnego Uzbekistanu. Znaczną część życia spędził na dworze kalifa bagdadzkiego al.-Mamuny, wielkiego protektora nauk. Jego „Traktat o liczbach i działaniach na nich” przetłumaczono w XIIw. Na język łaciński (z arabskiego). Dzięki niemu Europa zapoznała się z indyiskim systemem liczenia tzn. Pozycyjnym dziesiętnym. Odtąd tzw. „cyfry arabskie” weszły do matematyki europejskiej i światowej. Następnym ważnym dziełem był „Hisab al.-djabr wal-mukabala”. W pracy tej autor zajmuje się równaniami I i II stopnia. Nawiązuje do wielu dziedzin życia codziennego np. podziały spadkowe rachunki kupieckie itp. z osobą Alchwarizmego wiąże się jeszcze jedno ważne pojęcie – algebra. Algebra to łacińskie brzmienie operacji „al.-djabr”, stosowanej przy rozwiązywaniu równań. Nazwisko Alchwarizmi zostało w powszechnie używanym terminie –algorytm.
Archimedes (ok. 287 - 212 p.n.e.), najwybitniejszy fizyk i matematyk starożytnej Grecji, jeden z najwybitniejszych uczonych starożytności. Sformułował wzory na pole powierzchni i objętość walca, kuli i czaszy kulistej oraz rozważał objętości paraboloidy, hiporboloidy i elipsoidy obrotowej.
Jako pierwszy stwierdził możliwość tworzenia dowolnie dużych liczb. Sformułował prawo Archimedesa. Był również konstruktorem machin wojennych wykorzystanych w obronie Syrakuz przeciw wojskom rzymskim w latach 214-212 p.n.e. Zginął, zabity przez Rzymian po zdobyciu Syrakuz.
Matematycy Chińscy (XIII – XIVw.)
Do wybitnych matematyków chińskich są zaliczani: Li Ye, Cin Ciu-szao, Czu Szy-ce. Życie ich przypada na okres mongolskich podbojów Chin. Li Ye przepuszczalnie żył w latach 1178 – 1265. urodził się w północnych Chinach w poblizu miasta Djin. W młodości otrzymał dobre wychowanie i potem stał się guwernantem na dworze Chun Chou. Cin Ciu – szao był przez pewien czas wysokim urzędnikiem. Najsłynniejszym chińskim dziełem było: „Matematyka w dziewięciu księgach” – zawierająca reguły obliczeń wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb dodatnich z dowolną dokładnością. W obliczenach tych wykorzystywano wzory na
Kronecker Leopold (1823-1891), matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Berlinie i członek tamtejszej Akademii Nauk. Wniósł istotny wkład w rozwój algebry i teorię liczb, które to dziedziny uważał za najważniejsze działy matematyki, polemizując z teoriami G. Cantora.
Banach Stefan (1892-1945), jeden z najwybitniejszych matematyków polskich, samouk, od 1924 profesor matematyki na Uniwersytecie Lwowskim, członek Polskiej Akademii Umiejętności i AN Ukraińskiej SSR, jeden z twórców tzw. lwowskiej szkoły matematycznej, która wraz ze szkołą warszawską wydźwignęła matematykę polską na jedno z czołowych miejsc na świecie.
Zajmował się teorią liczb rzeczywistych, topologią oraz analizą funkcjonalną. Był jednym z inicjatorów wydawnictw Studia Mathematica i Monografii Matematycznych.
Bernoulli Daniel (1700-1782), matematyk, fizyk i fizjolog szwajcarski, syn Johanna. Pracował w Petersburgu i w Bazylei. Podał równanie opisujące laminarny przypływ cieczy równanie Bernoulliego (w fizyce) oraz równanie dla struny drgającej, podał jedną z definicji liczby e.
Zajmował się również rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką oraz metodami przybliżonych rozwiązań równań algebraicznych.
Bieńko Wojciech (1933-), polski matematyk, pisarz, poeta. W 1956 ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1957 wykładowca matematyki na Politechnice Warszawskiej. Debiutował wierszami w prasie literackiej w 1956.
Autor powieści fantastycznej Dalej niż nienawiść (1963), a także kilku innych: Morze nadziei (1966), Poszlaki (1969). Pisał scenariusze widowisk telewizyjnych o tematyce sensacyjnej: Białe na białym (1963), Debiut inspektora Evansa (1964) oraz sztuki telewizyjne dla Teatru Telewizji: Księżyc w nowiu (1973), Wyruszyć o świcie (1974), Sposób na życie (1984).
Leśniewski Stanisław (1886-1939), filozof, logik i matematyk, uczeń K. Twardowskiego. Od 1919 profesor na UW. Współtwórca warszawskiej szkoły logicznej. Ze szkoły tej wyszedł później A. Tarski.
Gdy w pierwszym okresie XX w. logika matematyczna natrafiła na poważne trudności, B. Russell wystąpił z "teorią typów". W Polsce podobną drogą poszedł Leśniewski oddzielając w języku różne kategorie semantyczne. Uznał, że prawidłowo zbudowany język nie dopuszcza antynomii. Zbudował system dedukcyjny, wolny od antynomii.
W latach 1927-1930 ogłosił O podstawach matematyki zamkniętych w układ systemowy. Stworzony przez niego system nie potrzebował już Russellowskiej "teorii typów". Leśniewski używał wypracowanej przez siebie symboliki i wprowadzał swoiste nazewnictwo logiczne.
Koncepcje filozoficzne Leśniewskiego przyczyniły się do rozwoju reizmu. Większość swoich dzieł Leśniewski pisał w języku niemieckim. Wśród nich znajdują się: Podstawy ogólnej teorii mnogości (1916), Grundzge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik (1929), ber die Grundlagen der Ontologie (1932).
Bernoulli Johann (1667-1748), matematyk szwajcarski, młodszy brat Jakoba, profesor matematyki na uniwersytetach w Groningen i Bazylei. Autor prac o rachunku różniczkowym i całkowym, zajmował się liniami geodezyjnymi, dał podstawy rachunkowi wariacyjnemu (brachistochrona).
Opracował teorię pewnej klasy równań różniczkowych, nazwanych od jego imienia równaniami Bernoulliego.
Bernoulliego równanie, w matematyce równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:
y'(x) + P(x) y(x) + Q(x) {y(x)} = 0,
gdzie 1, oraz P(x) i Q(x) są funkcjami ciągłymi. Równanie Bernoulliego daje się sprowadzić do równania różniczkowego liniowego: z'(x) + (1-)P(x) z(x) + (1-) Q(x) = 0 po podstawieniu z(x) = {y(x)}1-.
Równanie różniczkowe, rodzaj równania, w którym występuje pochodna (oraz ewentualnie pochodne wyższych rzędów ) funkcji niewiadomej (równanie różniczkowe zwyczajne) lub pochodne cząstkowe niewiadomej funkcji (równanie różniczkowe cząstkowe).
Równanie różniczkowe ma określony rząd, który równy jest najwyższemu, występującemu w równaniu rzędowi pochodnej niewiadomej funkcji.
Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znaleźć wszystkie funkcje spełniające dane równanie różniczkowe (tzw. rozwiązanie ogólne lub całka ogólna równania różniczkowego - funkcji tych jest zazwyczaj nieskończenie wiele, a różnią się np. wartością jednego parametru). Istnieje też rozwiązanie szczególne równania różniczkowego - jest to rozwiązanie ogólne spełniające ponadto pewne warunki zwane warunkami brzegowymi lub początkowymi, w zależności od ich interpretacji, które to warunki wymuszają dokonanie wyboru jednej wartości parametru rozwiązania ogólnego.