Praca semestralna z matematyki

All by streq : )
wszystko macie w zalaczniku a w/g mnie warto tam zajrzec bo dostalem 5+ :)))


Dawno, dawno temu żył sobie król, który strasznie się nudził. Nie bawił go fechtunek, ani jazda konna, ani nawet turniej rycerski. Był tak znudzony, że rozesłał wici po całym kraju i do państw przyjaznych - kto przyniesie interesującą grę, tego nie minie wysoka nagroda.
Pewnego dnia zjawił się na zamku starszy człowiek, cudzoziemiec. Przedstawił królowi swoją grę (szachy), a ten tak się nią zachwycił, że postanowił ofiarować staruszkowi wszystko, czego ten zażąda. Ten poprosił o pozornie skromną nagrodę - aby na pierwsze pole szachownicy położono 1 ziarno pszenicy, na drugie 2 ziarna, na trzecie 4 ziarna i na każde następne pole dwa razy więcej ziaren niż na pole poprzednie. Król się tylko zaśmiał i powiedział, żeby ów starszy człowiek podał mu po prostu liczbę worków z ziarnem, bo worki wygodniej liczyć, ale autor się uparł na dokładnie taką liczbę ziaren - ani mniej ani więcej. Nieco rozbawiony takim zachowaniem król poszedł więc do swoich matematyków, żeby mu obliczyli, ile mniej więcej worków ziarna żąda ów cudzoziemiec. Gdy matematycy podali mu wynik, to zrzedła mu mina - okazało się, że tyle ziarna, to nie ma ani w jego królestwie, ani nawet na całym znanym świecie.

Myślicie, że wtedy znano niewielką część Ziemi lub uprawiano mało zboża? Ale w dzisiejszych czasach również byłyby kłopoty ze spełnieniem takiego żądania, nawet dla USA...
Zobaczmy, ile ziaren chciał ten spryciarz:
na pierwszym polu kładziemy 1 ziarno
na drugim polu - 2 ziarna
na trzecim - 4 ziarna itd.
Czy nie przypomina to ciągu geometrycznego?
a1 (pierwsze pole) = 1 = 2^0
a2 (drugie pole) = 2 = 2^1
a3 = 4 = 2^2
...
a64 = 2^(64-1) = 2^63
Ilość wszystkich ziaren obliczymy ze wzoru na sumę:
Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)
czyli
S64 = 1 * (1-2^64)/(1-2) = 2^64-1
czyli to jest prawie 2^64
a ile to jest? policzmy:
2^2 = 4 (jak każdy wie)
2^4 = 4^2 = 16 (to wie już trochę mniej osób)
2^10 = 1024 (znana liczba dla komputerowców...)
2^20 = 1048576 (już ponad milion, a nie doszliśmy jeszcze do połowy szachownicy...)
2^40 = (2^20)^2 = 1099511627776 (może lepiej odzielę kropkami, żeby było łatwiej ogarnąć tą liczbę) = 1.099.511.627.776 (czyli to jest ponad tysiąc miliardów - ponad bilion)
2^60 = 2^40 * 2^20 = 1.152.901.504.600.846.976 (ponad milion bilionów, czyli ponad trilion)
2^64 = 2^60 * 2^4 = 18.446.744.073.709.551.616 (ponad 18 trilionów)
A ile to jest worków?
Zakładając, ze w jednym worku mieści się milion ziaren (może ktoś wie ile ich tak na prawde się mieści?), to worków byłoby 18.446.744.073.709, czyli ponad 18 bilionów... liczba trudna do wyobrażenia....
Jeśli w wagonie mieści się 100 worków, a każdy pociąg ma 100 wagonów, to takich pociągów z ziarnem musiałoby być ponad 184... To już łatwiej sobie wyobrazić, ale trudniej zebrać taką ilość ziarna..
Źródło: internet
a) Stopa procentowa
b) Sumy algebraiczne
c) Siatka sześcianu
d) Druga potęga
e) Równanie drugiego stopnia


Pewien człowiek prowadzi psa na smyczy w stronę domu ze stałą prędkością 4 mil na godzinę. W odległości 10 mil od domu pies zostaje spuszczony ze smyczy i natychmiast biegnie do domu z prędkością 6 mil na godzinę. Po dotarciu na miejsce pies zawraca do pana i biegnie do niego z tą samą prędkością. Dobiegłszy do pana, znowu zawraca w kierunku domu. Sytuacja taka się powtarza, aż w końcu właściciel psa dociera do domu i wpuszcza psa do środka. Ile mil przebiegnie pies od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili wejścia do domu?
Rozwiązanie:
Dane:
· Prędkość człowieka: Vc = 4 mile/h,
· Prędkość psa: Vp = 6 mil/h,
· Drogę przebytą przez człowieka: Sc = 10 mil.
Szukane:
Droga jaką przebiegnie pies - Sp.
Odpowiednio przekształcając wzór na prędkość

możemy obliczyć czas, po którym człowiek dotrze do domu:
= 2,5 h.
Oczywiście pies dotrze do domu w tym samym momencie co człowiek:
tp = tc = 2,5 h.

Stąd otrzymamy rozwiązanie: Sp = Vp . tp = 6 . 2,5 = 15 mil



Pewien sędzia prowadził rozprawę dotyczącą niebezpiecznego gangstera. Zakończył ją w sobotę po południu podsumowując: Jesteście skazani na powieszenie , wyrok ma być wykonany w południe w jednym z siedmiu dni najbliższego tygodnia. O dniu w którym ma być wykonany wyrok dowiecie się z rana tego dnia , w którym ma być dokonana egzekucja. Wcześniej o tym wiedzieć nie możecie.
Czemu wyrok nigdy nie będzie wykonany?

Odp. Przyszła sobota jest ostatnim dniem tygodnia, w którym można by powiesić skazanego. Otóż w sobotę egzekucja nie może być wykonana gdyż o jej wykonaniu wiedziałby już w piątek po południu, jeżeli dożyłby do tego dnia (warunkiem powieszenia jest to, że skazany może się o tym dowiedzieć tylko rankiem tego dnia w którym ma się odbyć egzekucja). W piątek również nie, bo w czwartek wiedziałby, że straci życie w piątek lub sobotę (która jest wykluczona). Analogicznie rozumując wyrok nie może być wykonany w żaden dzień tygodnia.

Legenda mówi, ze zadanie to zostało wymyślone przez Einsteina. Według niego 98 % ludzkiej populacji nie jest w stanie go rozwiązać. Prawdopodobnie nie jest to prawdą, ale zadanie jest bardzo ciekawe i oryginalne.

5 ludzi zamieszkuje 5 domów w 5 różnych kolorach. Wszyscy pala papierosy 5 różnych marek i pija 5 różnych napojów. Hodują zwierzęta 5 różnych gatunków.

Pytanie : Kto hoduje rybki ?
· Norweg zamieszkuje pierwszy dom
· Anglik mieszka w czerwonym domu
· Zielony dom znajduje się po lewej stronie domu białego
· Duńczyk pija herbatkę
· Palacz Rothmansów mieszka obok hodowcy kotów
· Mieszkaniec żółtego domu pali Dunhille
· Niemiec pali Marlboro
· Mieszkaniec środkowego domu pija mleko
· Palacz Rothmansów ma sąsiada, który pija wodę
· Palacz Pall Malli hoduje ptaki
· Szwed hoduje psy
· Norweg mieszka obok niebieskiego domu
· Hodowca koni mieszka obok żółtego domu
· Palacz Philip Morris pija piwo
· W zielonym domu pija się kawę
Odp.
Dom1 Dom2 Dom3 Dom4 Dom5
Narodowość: Norweg Duńczyk Anglik Niemiec Szwed
Kolor domu żółty niebieski czerwoni zielony biały
Co pali ? Dunhille Rothams Pall Mall Marlboro Philip Moris
Co pije ? woda herbata mleko kawa piwo
Co hoduje ? koty konie ptaki RYBKI psy
Wyspę X zamieszkują tylko Rycerze i Łotry. Wyglądają dokładnie tak samo, ale Rycerze są zawsze prawdomówni, a Łotrzy zawsze kłamią.

1. Pewien człowiek przybywając na Wyspę X spotyka trzech jej mieszkańców. Zadaje pierwszemu pytanie: "Kim jesteś?", na co ten odpowiada, lecz bardzo niewyraźnie. Drugi tłumaczy: "On powiedział że jest Łotrem", a trzeci natychmiast reaguje: "Nie wierz mu. On kłamie".
Kogo spotkał człowiek na Wyspie X ?

2. Człowieka goni horda Łotrów, czyhających na jego życie. Mądry przedstawiciel naszej cywilizacji zmierza do zamku zasłużonego Rycerza. Biegnąc lasem spotyka dwóch mieszkańców wyspy (jednego Łotra i jednego Rycerza) oraz dwie drogi, z których tylko jedna prowadzi do zamku. Ma czas na zadanie tylko jednego pytania, tylko jednemu z mieszkańców, lecz nie wie kogo będzie pytał, ponieważ nie odróżnia ich po wyglądzie.
O co powinien zapytać, by mieć pewność, która droga prowadzi do zamku ?


Odp.
1. Trzeba sobie uświadomić, że nikt na tej wyspie nie może powiedzieć: "jestem łotrem", bo rycerz powie o sobie prawdę, natomiast łotr skłamie, że jest rycerzem. W związku z tym druga osoba jest łotrem, ponieważ skłamała, natomiast trzeci osobnik jest rycerzem.
2. Pytanie powinno brzmieć: "Którą drogę wskazałby mi tamten mieszkaniec wyspy, gdybym go zapytał: Którędy do Zamku Rycerza" ? Obaj, na tak postawione pytanie, wskazują wtedy drogę złą.


Czterech podróżnych chce przejść przez dziurawy most nocą, mając tylko jedną latarką. Boją się przechodzić bez latarki, a most jest na tyle słaby, że równocześnie mogą się na nim znajdować tylko dwie osoby. Na przejście mostu pierwszy podróżnik potrzebuje 1 minuty, drugi 2 minuty, trzeciemu zajmuje to 5 minut, a czwartemu aż 10. Kiedy idą w parze szybszy dostosowuje prędkość do wolniejszego.

Jak przeprowadzić wszystkich na drugą stronę mostu w 17 minut ?!

Odp.
Nazwiemy osoby, w zależności od czasu, w jakim przebywają drogę.
Idzie 1 i 2, po czym 2 zostaje na drugim brzegu a 1 wraca. (3min)
Idzie 5 i 10, po czym wraca 2. (12min)
Idzie 2 i 1 i już są wszyscy. (2min)


Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e)
Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając lat 40 opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii. W Krotonie założył szkołę filozoficzno-religijną i związek pitagorejski. Nie pozostawił po sobie żadnych dzieł. Stworzył system poglądów naukowych, nazwanych jego imieniem. Był to prawdopodobnie rezultat pracy wielu uczonych, określanych powszechnie mianem pitagorejczyków. Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył określenia filozofia w rozumieniu "miłość mądrości", dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a jedynie umiłowanie jej dostępne jest dla ludzi. Wprowadził pojęcie podobieństwa figur oraz ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego twierdzeniem Pitagorasa (znanego wcześniej jako reguła bez dowodu), odkrył niewspółmierność boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom, wierzył w harmonię w Kosmosie.


Archimedes (ok. 287-212 p.n.e)
Opracował wzory na pole powierzchni i objętość walca, kuli i czaszy kulistej oraz rozważał objętości paraboloidy, hiperboloidy i elipsoidy obrotowej. Poprawnie oszacował wartość liczby pi, którą oznaczył pierwszą literą greckiego wyrazu "permetros" - obwód koła. Sformułował prawo Archimedesa. Wprowadził pojęcie siły, podał zasadę dźwigni. Wynalazł udoskonalony wielokrążek i tzw. śrubę Archimedesa. Był również konstruktorem machin wojennych, wykorzystanych do obrony Syrakuz przed Rzymianami w latach 214-212 p.n.e., podczas II wojny punickiej. Zginął po zdobyciu miasta, zabity przez rzymskiego żołnierza.


Euklides z Aleksandrii (ok. 365 - ok. 300 p.n.e.)
Jest autorem dzieła Elementy geometrii (obowiązujący przez stulecia podręcznik). Usystematyzował całość ówczesnej wiedzy matematycznej. W swych pracach z optyki sformułował prawo załamania i zasadę prostoliniowego rozchodzenia się światła. Jest również autorem dzieła z astronomii i teorii muzyki.

Franois Viete (1540-1603)
Był z zawodu prawnikiem i autorem prac z zakresu algebry i trygonometrii sferycznej: wprowadził notację literową dla stałych w równaniach, opracował nowe metody rozwiązywania równań drugiego, trzeciego i czwartego stopnia oraz wzory wiążące współczynniki równania z pierwiastkami tego równania.

Blaise Pascal (1623-1662)
Interesował się matematyką od dzieciństwa. Mając około 8 lat, odkył i dowiódł wiele twierdzeń Euklidesa. W 16 roku życia napisał rozprawę o przekrojach stożkowych, a w 24 roku życia odkrył prawo ciśnienia cieczy i stworzył podstawy rachunku prawdopodobieństwa.

Praca semestralna

Matematyka jest to królowa wszystkich nauk, jej ulubieńcem jest prawda, a prostość i oczywistość jej strojem... Matematyka, która tyle zrobiła przysług towarzystwu, naukom i sztukom, stanie się jeszcze wodzem ludzkiego umysłu we wszystkich poznawaniach.


Jan Śniadecki


Jacek Drużkowski kl.I B