Powiązanie najsłynniejszych stałych czyli NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI

Powiązanie najsłynniejszych stałych czyli NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI
Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. Mowa o wzorze:
e i π +1=0
A teraz nieco dokładniej o każdej ze stałych w powyższym wzorze:

"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne (czyli: 1, 2, 3, 4,... itd.) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Obecnie zero zalicza się do liczb naturalnych. Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej). Hindusi rozpowszechnili też system pozycyjny zapisywania liczb, choć przypuszcza się, że początkowo korzystali jedynie z dziewięciu cyfr odpowiadających naszym cyfrom od 1 do 9, zera zaś zaczęli używać znacznie później; nazywali je sunya, co miało znaczyć "pusty" lub "próżny". Dziesiętny system pozycyjny wraz z zerem przejęli od Hindusów Arabowie. Zwrot "pusty" przetłumaczyli mniej więcej na as-sifr, co z kolei przełożono na łacinę jako zephyrum. Od tego wyrazu wywodzi się słowo "zero", a także "cyfra". Bardzo długo jednak zera nie traktowano jako liczby równouprawnionej z innymi. Zero oznaczało "nic", a "nic" nie może przecież być liczbą. Służyło ono do zapełniania dziur i pustych miejsc, co często prowadziło do nieporozumień, pomyłek i nadużyć. Jeszcze w XV wieku zero traktowano z dużą rezerwą. Opór związany ze stosowaniem zera został przełamany w XVI i XVII wieku, gdy rozwinęły się techniki rachunkowe istotnie wykorzystujące system pozycyjny.

Liczba π /ludolfina/

Jedną z pierwszych wielkich niespodzianek dotyczących liczb było odkrycie liczb niewymiernych. Przygoda ta przytrafiła się starożytnym Grekom, próbującym wyliczyć długość przekątnej kwadratu o danym boku. Okazało się wtedy, że stosunek długości przekątnej do boku nie jest liczbą wymierną, to znaczy nie da się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Dla Greków był to swego rodzaju szok, waliła się ich koncepcja filozoficzna świata, którym miały rządzić liczby naturalne oraz ich proporcje; nie przypuszczali, że takie obiekty (czyż można je nazwać liczbami?) mogą istnieć.
Liczba π ma podobny rodowód, choć przez tysiąclecia nikt nie zastanawiał się nad jej naturą. Ale już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się p) jest wielkością stałą i, co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. Tym niemniej dokładnej jego wartości nie udało się wyliczyć (a rozważali ten problem już Babilończycy dwa tysiące lat przed naszą erą; przyjmowali oni, że stosunek ten wynosi w przybliżeniu 3). Ciekawe, że w piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie π z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nam z imienia uczonych. Ponad dwa tysiące lat później, w III wieku przed Chrystusem, Archimedes, jeden z najwybitniejszych umysłów w historii, oszacował π jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.

Używany dzisiaj symbol π nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Matheseos ( π pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"), a rozpowszechnił później Leonhard Euler (1707-1783). Liczba ta nazywana jest też ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było wyczynem nie lada. Stopniowo wyliczano π z większą dokładnością; w 1974 roku Jean Guillod i Martine Bouyer rozwinęli π do... milionowego miejsca po przecinku, oczywiście przy użyciu komputera. i na tym się nie skończyło, bo ambitnych nie brakuje. Jesienią 1995 ogłoszony został rekord wynoszący 6 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z komputerów wynosił około 5 dni.

Liczba e

Liczba e pojawiła się w matematyce później niż liczba π, w starożytności jej nie znano. Zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wieku. W tym czasie szkocki matematyk John Napier (Neper) ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy pozwalały zamieniać mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie - i to na znacznie mniejszych liczbach! Dzięki logarytmom astronomowie zaoszczędzili wiele czasu, który musieliby poświęcić na niezwykle żmudne rachunki. Logarytmy wymyślone przez Napiera były podobne do współczesnych logarytmów naturalnych (tj. logarytmów o podstawie e). Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera, oznaczenie "e" zaś wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler. Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu (1+1/n)n, gdy n zmierza do nieskończoności. w przybliżeniu e = 2,718281...


Liczba i

Liczba i znana jest jako "jednostka urojona", a także jako "pierwiastek z -1". Liczby zespolone pojawiły się w XVI wieku, gdy zaczęto badać ogólne rozwiązania równań trzeciego stopnia, to jest równań postaci ax3+bx2+cx+d=0. Okazało się, że w jednym z przypadków, koniecznych do przeprowadzenia pełnego rozumowania, równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki rzeczywiste, do których wyliczenia niezbędne jest wprowadzenie pewnej nowej wielkości. Wielkość ta, podniesiona do kwadratu, ma dać -1, ale pełni ona przy rozwiązaniu rolę jedynie pomocniczą. W dalszych rachunkach wielkości te redukują się i, co zaskoczyło ówczesnych matematyków, otrzymuje się prawidłowe rozwiązanie. Dlatego w początkowym okresie istnienia liczby zespolone (czyli takie, które w swej definicji zawierały i) traktowano jako symbole, które same w sobie nic nie znaczą, ułatwiają jednak rachunki. Przez dwa wieki liczby zespolone miały zarówno gorących zwolenników, jak i przeciwników. Nabrały one większego znaczenia w XVIII wieku, gdy Euler zaczął je stosować w analizie matematycznej, otrzymując wiele znaczących rezultatów. Formalne, ścisłe konstrukcje przeprowadzono dopiero w XIX wieku; zrobili to niezależnie Carl F. Gauss (geometrycznie) i William R. Hamilton (algebraicznie), przy czym obie konstrukcje prowadziły do tego samego. Liczby zespolone możemy sobie wyobrazić jako punkty płaszczyzny - jest to naturalne uogólnienie liczb rzeczywistych, które interpretujemy jako punkty prostej (w tym przypadku poziomej). Liczbę zespoloną z możemy zapisać jako parę (a, b) lub a+bi, gdzie i definiujemy jako liczbę taką, że i2=-1. Gdy b=0, to liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą. Liczba i, na pierwszy rzut oka może "sztuczna" (i do tego nieszczęśliwie nazwana, zgodnie z tradycją historyczną, "jednostką urojoną"), jest w matematyce niezwykle przydatna i odgrywa w niej istotną rolę.