Geometria.

5. Kąt
41.Jeżeli na płaszczyźnie z danego punktu poprowadzimy dwie półproste, to utworzymy figurę, która posłuży nam do określenia pojęcia kąta. Półproste OA i OB (rys. 11) nazywamy ramionami, a ich wspólny punkt O wierzchołkiem.

Otrzymaną figurę oznaczmy symbolem OAB.



Rys. 11 Rys. 12


42. Figura AOB dzieli płaszczyznę na dwie części, nazywane obszarami kątowymi, lub wprost kątami. Jeśli założymy, że półproste OA i OB nie leżą na jednej prostej, to tylko jeden z obszarów kątowych - nazwiemy go wewnętrznym - ma tę własność, że odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach figury (np. punkty D i E na rys. 12), zawiera się w tym obszarze. Wspomnianą wyżej własność będziemy nazywać wypukłością kątów, a kąt o tej własności kątem wypukłym. Jeśli ramiona figury leżą na jednej prostej, to jej obszary kątowe nie mają tej własności.

Dla oznaczenia kątów będziemy używać pojedynczych liter , itd., pisząc np. . Jeśli użyjemy symbolu AOB, będziemy mieli na myśli ten spośród dwóch kątów, który jest wypukły (wykluczając wtedy - z uwagi na niejednoznaczność symbolu przypadek leżenia ramion na jednej prostej).

43. Kąty mogą być równe lub nierówne.

Praktycznie o istnieniu kątów równych lub nierównych przekonać się możemy z doświadczenia, jeżeli wytniemy z kartonu dwa kąty ABC i A'B'C' i przeniesiemy jeden na drugi w taki sposób, żeby miały wierzchołek wspólny i jedno ramię wspólne.

Jeżeli się okaże, że pozostałe ich ramiona są do siebie przystające, to mówimy, że dane kąty są sobie równe lub inaczej przystające, co zaznaczamy, pisząc

ABC = A'B'C'.

Jeżeli zaś ramię A'B' położone będzie wewnątrz lub na zewnątrz kąta ABC, to powiemy, że kąty nie są równe i piszemy w pierwszym przypadku

ABC < A'B'C',

w drugim przypadku natomiast

A'B'C' < ABC.

Uwaga. Jeżeli ramię OB kąta AOB (rys. 11) będziemy uważać za ruchome i za początkowe jego położenie weźmiemy OA, za końcowe zaś OB, to możemy powiedzieć, że kąt powstaje przez obrót ramienia ruchomego dokoła danego punktu, czyli wierzchołka.

Mówimy wtedy, że półprosta zakreśliła kąt.

Kąt ten mógł powstać także przez obrót drugiego ramienia, które wychodzi z położenia początkowego OB i zajmuje położenie końcowe OA. Można by więc rozróżnić dwa zwroty kąta, jeżeli jednak o zwrocie nie myślimy, mówimy, że otrzymujemy kąt AOB albo BOA - bez różnicy. Mówi się niekiedy, że prosta OB jest nachylona do prostej OA pod kątem AOB.




Rys. 13

44. Niech będzie dany kąt (rys. 13), prosta KL i punkt O leżący na niej. Z tego punktu można wyprowadzić nieograniczoną ilość półprostych (z każdej strony prostej KL), ale tylko jedna z nich półprosta OM będzie tworzyła z półprostą OL kąt , czyli będzie nachylona do OL pod kątem .

Przyjmujemy więc jako pewnik:

Z każdej strony danej prostej z punktu położonego na niej, zawsze można wyprowadzić taką półprostą, i to tylko jedną, która z daną półprostą tworzy kąt, równy danemu kątowi.

Ten pewnik rozumiemy jako możliwość przenoszenia kąta na daną prostą, czyli budowania na niej kąta równego danemu.

O sposobach tej konstrukcji będziemy mówili później, tymczasem odnotujmy tylko tę możliwość.





Rys. 14

45. Jeżeli z wierzchołka kąta AOB (rys. 14) na danej płaszczyźnie wyprowadzimy półprostą OC (rys. 14) leżącą na zewnątrz kąta, to otrzymamy kąty AOB i BOC, które oprócz wspólnego wierzchołka O mają wspólne jedno ramię. Takie kąty nazywamy kolejnymi. Kąt AOC, nazywamy sumą kątów AOB i BOC i piszemy:

AOC = AOB + BOC.

O każdym z tych kątów mówimy, że jest kątem mniejszym od kąta AOC i zapisujemy:

AOB < AOC i BOC < AOC.

Natomiast o kącie AOC mówimy, że jest większy od AOB i BOC i będziemy pisać:

AOC > AOB i AOC > BOC.

Każdy z kątów AOB i BOC nazywamy różnicą pomiędzy kątem AOC i pozostałym kątem; mamy

AOB = AOC - BOC,

BOC = AOC - AOB.

46. Zajmiemy się teraz przypadkiem wyjątkowym, kiedy półproste OA i OB leżą na jednej prostej. Jeśli te półproste są różne, to tworzą one dwa kąty (rys. 15), które nazywamy półpełnymi.

Przyjmujemy jako pewnik, że kąty półpełne są sobie równe.

Jeśli półproste OA i OB pokrywają się, to powstaje jeden obszar kątowy, który nazywamy kątem pełnym.

Przyjmujemy jako pewnik, że kąty pełne są sobie równe.




Rys. 15

Stosownie do określenia sumy kątów kąt pełny jest sumą dwóch kątów półpełnych, i - ogólniej - kąt pełny jest, dla każdej figury AOB, sumą dwóch kątów, jakie ta figura wyznacza.

47. Z tego, co było powiedziane, widzimy, że dwa kąty możemy łączyć znakami równości lub nierówności, dodawania i odejmowania, i chociaż jeszcze nie znamy sposobów przenoszenia kąta, zatem i znajdowania sumy lub różnicy dwóch dowolnych niekolejnych kątów, to jednak zasygnalizowaliśmy, że taka możliwość istnieje. Jeżeli dalej rozszerzymy dodawanie kątów na kilka składników, dojdziemy do pojęcia kąta, który będzie równy danemu, powtórzonemu pewną liczbę razy (mnożenie kąta przez liczbę całkowitą), a stąd już, jako działanie odwrotne, wyniknie dzielenie kąta na części.

Możemy więc na kątach dokonywać działań takich, jak na odcinkach, a zatem kąty, podobnie jak odcinki, zaliczamy do wielkości geometrycznych i możemy do nich stosować pewniki ogólne, podane w punkcie 32.





Rys. 17

48. Jeżeli z pewnego punktu O prostej AB (rys. 17) wyprowadzimy półprostą OC, to utworzą się dwa kąty: AOC i COB, które nazywamy kątami przyległymi.

Stąd określenie:

dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek, jedno ramię wspólne i których drugie ramię tworzy jedna prosta, nazywają się kątami przyległymi.

Oczywiście, suma kątów przyległych jest kątem półpełnym.

O kątach przyległych mówimy, że się nawzajem dopełniają, a każdy z nich nazywamy dopełnieniem drugiego.

Widzimy więc, że dopełnienie danego kąta jest równe różnicy między kątem półpełnym i danym, a stąd już wynika wniosek:

Jeżeli dwa kąty są sobie równe, to i ich dopełnienia są kątami równymi.





Rys. 18

49. Jeżeli wspólne ramię CD (rys. 18) kątów przyległych ma takie położenie względem prostej AB, że oba kąty są sobie równe, to każdy z nich nazywamy kątem prostym, np. ACD i BCD na rysunku.

O istnieniu takich kątów przekonamy się nieco później.

Znakiem kąta prostego bywa często litera d (z francuskiego, droit = prosty), aby więc zaznaczyć, że dany kąt jest prosty, piszemy ACD = d.

Proste, które tworzą ze sobą kąty przyległe równe, to znaczy przecinają się pod kątem prostym, nazywają się prostopadłymi względem siebie, np. proste AB i CD (rys. 18) są prostopadłe. Dla skrócenia piszemy AB CD, albo CD AB, czytając prosta AB jest prostopadła do prostej CD albo CD jest prostopadła do AB.

Punkt C nazywamy spodkiem prostopadłej.





Rys. 19

Prostą przecinającą daną prostą pod kątem, który nie jest prostym, nazywamy pochyłą względem niej, np. prosta CE jest pochyłą do prostej AB (rys. 19).

Stąd, że suma kątów przyległych jest równa kątowi półpełnemu, wynika, że kąt prosty, jako jeden z dwóch równych sobie kątów przyległych, można uważać za połowę półpełnego, a zatem: wszystkie kąty proste są sobie równe.





Rys. 20

50. Z kątem prostym, jako wielkością stałą, porównujemy inne kąty. Kąt mniejszy od kąta prostego nazywa się kątem ostrym, większy od kąta prostego kątem rozwartym.

Jeżeli dwa kąty ostre tworzą w sumie kąt prosty, to mówimy, że te kąty dopełniają się do kąta prostego.

Stąd wynikają następujące wnioski:

1. Kąt półpełny jest równy sumie dwóch kątów prostych.

2. Suma kątów przyległych jest równa sumie dwóch kątów prostych.

3. Jeżeli dwa kąty ostre są równe, to i ich dopełnienia do kąta prostego też są równe.

4. Jeżeli jeden z kątów przyległych jest ostry, to drugi jest rozwarty.




Rys. 21

51. Jeżeli mamy dwie proste AB i CD (rys. 21), przecinające się w punkcie O, to otrzymamy cztery kąty kolejne, które dla skrócenia oznaczamy numerami 1, 2, 3 i 4. Niektóre z nich są przyległe, np. kąty 1 i 2, inne zaś nieprzyległe, np. 1 i 3, albo 2 i 4.

Określenie. Dwa kąty, utworzone przez dwie przecinające się proste, nazywają się kątami wierzchołkowymi, jeżeli ramiona jednego z nich są przedłużeniami ramion drugiego.

Te kąty mają pewną własność, którą wyraża następujące

Twierdzenie. Kąty wierzchołkowe są sobie równe.

Mamy dwie proste AB i CD (rys. 21) przecinające się w punkcie O. Utworzą się kąty wierzchołkowe: 1 i 3 (albo 2 i 4). Trzeba dowieść, że 1 = 3.

Dowód. Ponieważ kąty 1 i 2 są przyległe, więc kąt 1 jest dopełnieniem kąta 2, dla takiej samej przyczyny kąt 3 jest również dopełnieniem kąta 2, a więc 1 = 3 (patrz punkt 48), co było do udowodnienia.



Uwaga. Dopiero co przytoczone twierdzenie wypowiedzieliśmy w postaci skróconej, w której zacierają się dwie części - założenie i teza - z jakich składa się każde twierdzenie (patrz punkt 14). Można je wyrazić w następującej formie: "Jeżeli dwa kąty mają wspólny wierzchołek i ramiona jednego z nich są przedłużeniami ramion drugiego, to te kąty są sobie równe". Założeniem jest zdanie: "Jeżeli ..."., tezą zaś "to...".





Rys. 22

52. Z wierzchołka kąta AOB (rys. 22) wyprowadźmy półprostą OC położoną wewnątrz tego kąta, wtedy otrzymamy dwa kąty: AOC i COB, które w sumie tworzą kąt dany AOB.

Jeżeli półprostą OC tak poprowadzimy, że:

AOC = COB,

to kąt AOB będzie podzielony na połowy i półprostą OC nazwiemy dwusieczną danego kąta.