Funkcje trygonometryczne

Wykład niniejszy o zachowaniu się funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens polegał będzie na omówieniu tematu bez używania rysunków ani wykresów. Dodatkowym celem jaki sobie postawiłem jest ćwiczenie wyobraźni (imagination drill). Uczeń czytając niniejsze słowa może posługiwać się ołówkiem, cyrklem ekierką i kartką papieru.
Zaczynamy od osi współrzędnych „x” i „y” prostopadle względem siebie usytuowanych. Pozioma oś oznaczona „x”- to oś odciętych zakończona strzałką w prawo. Pionowa oś oznaczona „y” - to oś rzędnych zakończona strzałką w jej górnej części. Punkt przecięcia osi współrzędnych oznaczamy cyfrą „0” i będziemy nazywać początkiem układu współrzędnych.
Używając rozgrzanej w dotychczasowych czynnościach naszej wyobraźni postawmy nóżkę wyimaginowanego cyrkla w punkcie 0 i narysujmy okrąg o promieniu r = 5 cm. Punkty przecięcia okręgu z osiami współrzędnych oznaczamy na osi x +1 z prawej strony punktu 0 oraz – 1 z lewej strony punktu 0. Podobnie na osi rzędnych y odpowiednio +1 nad punktem 0 oraz -1 poniżej punktu 0. Promień narysowanego okręgu umownie wynosi 1 (jednostka umowna chociaż w naszym przypadku ma on 5 cm)
Poprowadźmy linię półprostą z początku układu współrzędnych (punkt 0) w prawo po dowolnym kątem α (np 30°) kilka centymetrów poza okrąg. Punkt przecięcia tej półprostej, która nazywać będziemy promieniem wodzącym z okręgiem oznaczmy literą R.
Poddajmy teraz nasz „rozgrzany” mózg dalszym ćwiczeniom. Sprowadźmy punkt R wraz z promieniem wodzącym po łuku okręgu na oś x. Tym samym kąt zawarty pomiędzy promieniem a osią x wyniesie α = 0°.
Poruszajmy teraz promień wodzący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zwiększając kąt α od 0° do 360° Wykonamy wówczas jeden pełny obrót, podczas którego zauważymy, że współrzędne punktu R (odcięta Rx i rzędna Ry) oraz promień wodzący r tworzą trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna wynosi 1 oraz 2 przyprostokatne Rx i Ry
Uruchamiając dalej naszą wyobraźnię widzimy jak zmienia się kształt owego trójkąta w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.
Odcięta Rx określa wartość cos α natomiast rzędna Ry wartość sin α.
Zadanie domowe:
W których ćwiartkach wartość sin α jest dodatnia, a w których ujemna?
W których ćwiartkach wartość cos α jest dodatnia, a w których ujemna?
Jaka jest wartość sinus dla kąta 0°=.., 90°=.., 180°=..,270°=.., 360°=..,
Jaka jest wartość cosinus dla kąta 0°=.., 90°=.., 180°=..,270°=.., 360°=..,

Funkcje trygonometryczne c.d.
Tangens. W poprzednim wykładzie omówiłem zachowanie się funkcji sinus i cosinus w kartezjańskim układzie współrzędnych. Teraz, mając w pamięci lub na rysunku, jeżeli posługiwaliście się cyrklem, ołówkiem i ekierką, wszystko to co utrwaliło się w waszych umysłach przejdziemy do kolejnych funkcji trygonometrycznych tangens i cotangens.
Przedłużmy zatem nasz promień wodzący poza okrąg o promieniu równym umownie 1 poza okrąg. Teoretycznie przedłużamy go do nieskończoności, w praktyce powiedzmy do końca kartki.
Z punktu +1 na osi x wyprowadzamy prostopadłą do osi odciętych do przecięcia z promieniem wiodącym. Jest to styczna do okręgu właśnie w punkcie +1. Punkt przecięcia tej stycznej z promieniem wiodącym oznaczmy litera T. (tangens) Wspomnianą powyżej prostopadłą przeprowadzamy w obie strony to znaczy ponad oś x (będą to wartości dodatnie) oraz poniżej osi x ( będą to wartości ujemne).
Odległość punktu T od osi x to właśnie wartość tangensa kąta α. Zauważmy, że w miarę powiększania kąta α punkt T , tg α rośnie aż do nieskończoności. Kiedy kąt α osiągnie 90° promień wodzący będzie równoległy do stycznej prostopadłej do osi x a zatem punkt T osiągnie wartość +∞ Wnioskujemy zatem, że tg α zmienia się w I ćwiartce układu współrzędnych od 0 (przy α=0°) do +∞ (przy α=90°)
Zanim przejdziemy do zachowań funkcji cotangens omówmy jeszcze zachowanie się tangensa w II, III i IV ćwiartce. Kiedy promień wiodący przekroczy pionową oś rzędnych y kąt α wejdzie w zakres 90° - 180° (II ćwiartka). Punkt przecięcia promienia ze styczną znajdzie się poniżej osi x
W tym celu musimy przedłużyć promień poza środek okręgu 0 (poniżej osi x).Zauważmy, że wartości tangensa dla II ćwiartki oscylują w granicach od -∞ (przy α=90°) do 1 (przy α=180°)
W III ćwiartce kąt α osiąga wartości w przedziale od α=180° do 270° a zatem punkt przecięcia promienia ze styczną T powraca do I ćwiartki a zatem wartości tangensa dla III ćwiartki są takie same jak w I ćwiartce od 0 (przy α=180°) do +∞ (przy α=270°).
W IV ćwiartce wartości tangensa są od -∞ (przy α=270°) do 0 (przy α=360°)
Cotangens. Aby uzmysłowić sobie jak zachowuje się funkcja cotangens w kartezjańskim układzie współrzędnych, poprowadźmy w naszej wyobraźni styczną do znanego nam już okręgu o promieniu 1 prostopadłą do osi y. Ten punkt styczności to punkt +1 na osi y.
Punkt przecięcia tej poziomej stycznej z promieniem, a ściślej z przedłużeniem promienia poza okrąg oznaczmy litera C (cotangens).
W I ćwiartce kiedy kąt α=0° promień pokrywa się z osią x a zatem przecina się on ze styczną w nieskończoności ponieważ są one równoległe. Odcięta punktu C w I ćwiartce określająca wartość cotangensa wynosi -∞ (przy α=0°) oraz 0 (przy α=90°).
Wspomniana powyżej styczna równoległa do osi x poprowadzona jest po obu stronach osi y.
W II ćwiartce w miarę zwiększania kąta od α=90° do α=180° punkt C będzie przesuwał się w lewo a wartość cotangensa, jako odcięta punktu C będzie zmieniała się odpowiednio od 0 (przy α=90°) do -∞ (przy α=180°)
W III ćwiartce w miarę zwiększania kąta od α=180° do α=270° wartość cotangensa, jako odcięta punktu C będzie zmieniała się odpowiednio od +∞ (przy α=180°) do 0 (przy α=270°)
Zauważmy, że w III i IV ćwiartce punkt C jest punktem przecięcia wspomnianej stycznej poziomej z przedłużeniem promienia poza początek układu 0 ( do przeciwległej ćwiartki)
W IV ćwiartce w miarę dalszego zwiększania kąta od α=270° do α=360° wartość cotangensa, jako odcięta punktu C będzie zmieniała się odpowiednio od 0 (przy α=270°) do -∞ (przy α=360°)
Zadanie domowe:
W których ćwiartkach wartość tg α jest dodatnia, a w których ujemna?
W których ćwiartkach wartość ctg α jest dodatnia, a w których ujemna?
Dla jakich kątów wartość tg α = ctg α