Czego nauczyliśmy się będąc w klasie 1 gimnazjum?

1. Działania i liczby

1. Liczby rzeczywiste – wszystkie liczby , które odpowiadają punktom na osi liczbowej.
2. Liczby wymierne – liczby dające przedstawić się za pomocą ułamka p/q , gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną liczbą naturalną ( np. 1/7, 3 ½, 32/5 , 0, -2,6 , 5 ).
3. Liczby niewymierne – liczby nie dające się zapisać w postaci ułamka zwykłego ( np. 3, 5). Należą do rzeczywistych.
4. Liczby naturalne – są to liczby dodatnie, całości ( 0.9.3.6). Należą do rzeczywistych i wymiernych.
5. Liczby całkowite – są to całości , liczby dodatnie i liczby do nich przeciwne ( -2, 6, 7, -4, ). Należą do rzeczywistych i wymiernych.
6. Liczby pierwsze -liczby ,które mają dwa dzielniki: 1 i samą siebie ( 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13,17, 19, 23, 19, 31, 37).
7. Liczby złożone – liczby posiadające więcej niż dwa dzielniki.
8. liczba 1 nie jest liczbą ani złożoną, ani pierwszą – dzieli się przez samą siebie.
9. Liczba przeciwna do danej – liczba , która po dodaniu do danej daje w wyniku 0
10. Liczba odwrotna do danej – (a) liczba którą zapisujemy jako ułamek 1/a

Liczba, jest podstawowym pojęciem matematyki, które powstało w świadomości człowieka na wiele tysięcy lat przed naszą erą, a następnie kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Z chwilą, gdy rozróżnienie między „jeden” i „wiele”- charakterystyczne dla ludów pierwotnych- przestało wystarczać, wprowadzone zostały liczby: 1,2,3,4,...,a więc liczby naturalne (tzn. całkowite i dodatnie). Zaznaczanie liczb naturalnych odbywało się przez nacinanie kości zwierzęcych, kijów lub innych przedmiotów codziennego użytku. Z rozwojem piśmiennictwa powstał zapis liczb w odpowiednich systemach liczbowych (sposób nazywania i zapisywana liczb) za pomocą umownych znaków, cyfr. Spostrzeżenie, że proces tworzenia coraz to większych liczb naturalnych jest nieskończony, zawarte jest już w dziejach Euklidesa i Archimedesa, który opracował nawet metodę zapisywania i nazywania liczb większych niż „liczba ziaren piasku na świecie”. Ustalenie zasad dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych, oraz poznanie własności tych działań zapoczątkowało rozwój arytmetyki. Pierwszym rozszerzeniem pojęcia liczb było wprowadzenia ułamków (np. ½ , ¾ itp.), dzięki którym wykonalne stało się dzielenie liczb naturalnych.
Następnie w VI-XI w. wprowadzono w Indiach liczby ujemne oraz zero, które umożliwiały odejmowanie liczb naturalnych bez ograniczeń. Geometryczna interpretację liczb ujemnych jako wektorów (odcinek prostej łączącej dwa punkty, w którym wyróżniony jest pewien kierunek, mianowicie jeden koniec odcinka A jest początkiem wektora, a drugi B końcem)na osi liczbowej, skierowanych przeciwnie do kierunku osi, podał Descartes, (dzięki któremu głównie liczby ujemne rozpowszechniły się w Europie)
Liczby naturalne, odpowiadające im liczby ujemne: -1, -2,-3,... oraz zero nazywane są liczbami całkowitymi. Liczby całkowite oraz ułamki (dodatnie i ujemne) są to liczby ujemne. Zbiór liczb wymiernych posiada własność gęstości, tzn. dla dwóch różnych liczb wymiernych a i b istnieje zawsze liczba wymierna c taka, że aDalszym rozszerzeniem pojęcia liczb było ścisłe opracowanie teorii liczb niewymiernych (liczby rzeczywiste nie dające się przedstawić w postaci p przez q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, np. pierwiastek z dwóch.)Liczby wymierne (liczby dające się przedstawić w postaci p przez q) oraz niewymierne nazywamy łącznie rzeczywistymi. Miedzy zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem punktów linii prostej można ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną, tzn. taką, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt prostej i na odwrót.
Znacznie dalszym rozszerzeniem pojęcia liczb było wprowadzenie liczb zespolonych (pary uporządkowane (a, b) liczb rzeczywistych a i b, traktowane jako nowe liczby, dla których przyjęto określenia równości, sumy i iloczynu), których szczególnym przypadkiem są liczby rzeczywiste.
Od dawna uważa się, że liczby wyrażają kosmiczny porządek. Po raz pierwszy taki reprezentowali starożytni Babilończycy, którzy obserwowali cykliczne kosmiczne wydarzenia, takie jak następowanie po sobie dnia i nocy, szczególnych faz księżyca czy pór roku. W większości kultur liczby mają bogate symboliczne znaczenie, numerolodzy zaś zajmują się określaniem ich wpływu na to, co wydarzy się w przyszłości. Biorąc pod uwagę symboliczne znaczenie liczb, należy stwierdzić, że nie wyrażają one jedynie stosunków ilościowych, lecz także jakościowe (Np. liczba siedem, jest liczbą świętą, reprezentuje jedność pierwiastka boskiego (trzy) oraz ziemi (cztery). Każda z czterech faz księżyca trwa siedem dni- tydzień.). Według greckiego matematyka Pitagorasa liczby parzyste, a więc te, które można podzielić na dwie równe części, miały żeński i pasywny charakter, podczas gdy liczby nieparzyste były męskie i aktywne.

2. Procenty

Procent, %, symbol jednej setnej danej liczby, 20% = 20*0,01 = 0,20.
Oprocentowanie, procent, forma dochodu od kapitału pożyczkowego, uzyskiwanego przez właścicieli kapitału w postaci pieniężnej z tytułu jego udostępnienia (pożyczenia) innym użytkownikom. Wysokość tego dochodu uzależniona jest od wartości pożyczki oraz od poziomu stopy procentowej.
Użyczenie kapitału może mieć charakter bezpośredni, gdy pożyczka dokonuje się na drodze umowy notarialnej lub zakupu obligacji, albo pośredni - gdy pośrednikiem jest bank lub inna instytucja finansowa.
Procent składany, sposób oprocentowania kapitału, polegający na naliczaniu odsetek w kolejnych okresach umownych (najczęściej stosowane to: miesiąc, kwartał, pół roku i rok) od wartości kapitału początkowego powiększonego o kwotę odsetek należnych za okres poprzedni, czyli przy uwzględnieniu kapitalizacji odsetek.
Matematyczna formuła procentu składanego dla rocznego okresu kapitalizacji ma postać: Kn = Ko (1+r)n, gdzie: Kn - wartość kapitału po n latach, Ko - początkowa wartość kapitału, r - roczna stopa oprocentowania, n - okres, dla którego oblicza się procent składany.
Formuła ta pozwala obliczyć wartość kapitału, np. oszczędności w banku, którą będziemy dysponować po n latach lokując dziś kwotę Ko, przy rocznej stopie oprocentowania r. Przy okresie kapitalizacji krótszym od roku formuła procentu składanego przyjmuje postać: Kn,m = Ko(1+r/m)nm, gdzie m jest liczbą okresów umownych mieszczących się w roku.
Procentowa stopa, procentowy wskaźnik określający stosunek sumy płaconej za użytkowanie kapitału pieniężnego do wielkości tego kapitału, ustalony najczęściej w stosunku rocznym.
Wysokość stopy procentowej jest zależna od terminu płatności, ryzyka, celu pożyczki, a także od kierunku i wielkości zmian stopy procentowej banku centralnego.
Ułamek masowy, dawniej ułamek wagowy, stosunek masy składnika układu do masy całego układu (roztworu, mieszaniny). Suma ułamków masowych wszystkich składników równa się jedności. Ułamek masowy wyrażony w procentach nosi nazwę stężenia wagowego.

3. Figury geometryczne

Geometria, powstały jeszcze w starożytności dział matematyki, silnie rozwinięty w XIX i XX w., zajmujący się własnościami przestrzeni (płaszczyzn) i obiektów w niej zawartych.
Podwaliny geometrii dali Tales z Miletu, Euklides, oraz Archimedes. Metody analizy matematycznej wprowadził do geometrii R. Descartes, zapoczątkowując rozwój geometrii analitycznej. W XVIII w. zostały wprowadzone do geometrii elementy rachunku różniczkowego (geometria różniczkowa). Istnieje ponadto geometria wykreślna zajmująca się metodami graficznego przedstawienia brył i geometria rzutowa zajmująca się właściwościami rzutów perspektywicznych.
Silnym impulsem rozwoju geometrii stały się odkrycia geometrii nieeuklidesowych (tj. możliwości istnienia różnych przestrzeni: zakrzywionych, nieeuklidesowych), oraz przestrzeni wielowymiarowych. Prekursorem tworzenia geometrii zakrzywionej przestrzeni był C.F.Gauss, pierwszą geometrię nieeuklidesową stworzył N. Łobaczewski (geometria Łobaczewskiego), jej uogólnienie przedstawił G. Riemann. Jednym z najsilniej rozwijanych obecnie zagadnień w geometrii jest topologia.
Odcinek, w matematyce część prostej zawarta pomiędzy dwoma punktami należącymi do niej.
Odcinek koła, w matematyce każda z dwóch części koła rozciętego prostą (tj. powierzchnia ograniczona cięciwą i opartym na niej łukiem).
Prosta, linia prosta, jedno z pojęć pierwotnych geometrii. Przy innym niż standardowy wyborze pojęć pierwotnych definiowana np. jako zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od wybranych dwóch punktów.
Własności (w płaskiej, euklidesowej przestrzeni): prostą wyznaczają jednoznacznie dwa należące do niej, różne od siebie punkty. Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych. Dwie proste równoległe nie mają punktów wspólnych lub mają ich nieskończenie wiele (gdy się pokrywają). Przez jeden punkt nie należący do danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej.
Prostą na płaszczyźnie opisuje równanie:
Ax + By + C = 0
(A i B są składowymi wektora prostopadłego do prostej, C - stała, zmiana jej wartości odpowiada równoległemu przesuwaniu prostej), równanie to można sprowadzić do postaci
y = ax + b,
gdzie: a = -A/B, b = - C/B (funkcja liniowa).
We współrzędnych biegunowych równanie prostej ma postać:
r = p/{cos (ϕ-Θ)},
gdzie r =r i ϕ to bieżące współrzędne biegunowe punktu prostej, p - odległość prostej od początku układu, Θ - kąt określający kierunek wektora r, gdy r = p.
Prosta może być ponadto określona przez jej równanie parametryczne postaci:
x = x + αt, y = y + βt,
równanie dla prostej przechodzącej przez dwa różne punkty o współrzędnych (x1, y1), (x2, y2) postaci
y-y1 = (y2-y1)( x-x1)/( x2-x1),
lub tzw. równanie odcinkowe
x/p+y/q = 1,
gdzie: (p,0) i (0, q) są punktami przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych.
Na płaszczyźnie dwie proste mogą być identyczne, równoległe, lecz nie identyczne, przecinające się. W przestrzeni istnieją ponadto proste skośne - nie przecinające się proste należące do różnych płaszczyzn.

Kąt bryłowy, część przestrzeni ograniczona powierzchnią stożkową, odcinającą obszar o powierzchni S na powierzchni kuli o promieniu R i środku pokrywającym się z wierzchołkiem powierzchni stożkowej. Miarą kąta bryłowego jest stosunek powierzchni S do R2. Kąt bryłowy wyraża się w steradianach (sr). Z definicji kąta bryłowego wynika, że pełny kąt bryłowy ma 4π śr.
Kątomierz, przyrząd pomiarowy służący do bezpośredniego pomiaru kątów. Rozróżnia się kątomierze zwykłe, uniwersalne i optyczne do pomiarów warsztatowych, kątomierze poziomnicowe do pomiarów kątów nachylenia w stosunku do poziomu, oraz kątomierze rysunkowe do odmierzania kątów na rysunkach.
Trójkąt, obszar płaszczyzny ograniczony łamaną zamkniętą złożoną z trzech odcinków: a, b, c, stanowiących boki trójkąta. W geometrii płaskiej, euklidesowej, suma kątów wierzchołkowych (wewnętrznych) trójkąta równa jest kątowi półpełnemu (180). Ze względu na wielkość kątów wyróżnia się trójkąty:
· ostrokątne (każdy z kątów wewnętrznych ma mniej niż 90),
· prostokątne (o jednym z kątów równym 90, Pitagorasa twierdzenie),
· rozwartokątne (o jednym z kątów większym niż 90).
Ze względu na długość boków wyróżnia się trójkąty:
· równoboczne (o wszystkich bokach równych - kąty wierzchołkowe są wtedy także równe i mają po 1/3 kąta półpełnego, tj. po 60 = π/3 rad),
· równoramienne (długości dwóch boków są sobie równe),
· różnoboczne (każdy bok ma in. długość).
Relację pomiędzy długościami boków a kątami wewnętrznymi trójkąta opisuje tzw. twierdzenie sinusów, zgodnie z którym stosunek długości każdego boku do sinusa kąta naprzeciwległego jest stały i równa się średnicy okręgu opisanego na trójkącie. Osie symetrii boków przecinają się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na trójkącie, a dwusieczne kątów wierzchołkowych w punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego do trójkąta.
Pole trójkąta równe jest połowie iloczynu długości dowolnego boku i odległości tego boku od przeciwległego wierzchołka, będącej jedną z tzw. wysokości trójkąta. Istnieje wiele in., równoważnych wzorów na pole t.: S = (a + b + c)/2r, gdzie r - promień okręgu wpisanego w trójkąt, S = abc/4R, gdzie R - promień okręgu opisanego na trójkącie, połowa iloczynu długości dwóch sąsiadujących boków i sinusa kąta zawartego pomiędzy nimi, iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych i podwojonego kwadratu R, wzór podany w twierdzeniu Herona (Herona wzór).
Czworokąt, płaska figura geometryczna, wielokąt o czterech bokach. Do czworokątów należą m.in.: deltoid, trapez, równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat. Suma kątów wierzchołkowych czworokąta jest kątem pełnym (360). Pole dowolnego czworokąta wypukłego równe jest połowie iloczynu długości jego przekątnych pomnożonych przez sinus kąta zawartego pomiędzy nimi.
Pole figury, miara powierzchni figury, liczba nieujemna przyporządkowana figurze geometrycznej, spełniająca warunki: jednostkowe pole to pole kwadratu o boku 1, pole figury utworzonej ze złożenia ze sobą dwóch figur równe jest sumie pól figur liczonych oddzielnie, pola figur przystających równe są sobie.

4. Kąty w kole

Kąt środkowy - kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu, nazywa się kątem środkowym w tym okręgu.

Na rysunku obok kąt wypukły AOB jest kątem środkowym w okręgu o środku O. W kącie AOB leży łuk AEB okręgu; mówimy, że kąt środkowy AOB opiera się na łuku AEB. W tym samym okręgu kąt wklęsły AOB, którego wnętrze jest zaznaczone kreskami. jest także kątem środkowym; opiera się on na łuku AFB.
Twierdzenie: Jeżeli kąty środkowe w okręgu są równe to:
a) łuki, na których te kąty się opierają, są równe;
b) cięciwy tych łuków są równe.
Kąt wpisany - kąt wypukły; jego wierzchołek należy do okręgu będącego brzegiem koła, jego ramiona zawierają cięciwy. Punkty wspólne ramion kąta i okręgu wyznaczają łuk na którym oparty jest ten kąt.
Twierdzenie: Jeżeli kąt wpisany jest oparty na półokręgu, to ten kąt jest prosty.











Kąt wpisany a kąt środkowy
1. Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku to kąty te są równe.
2. Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (rys 7.)
3.Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.(rys.8)












5. Wyrażenia algebraiczne

Przykładami wyrażeń algebraicznych są:
- liczba 3
- suma a i b a + b
- różnica a i b a - b
- iloczyn a i b ab
- iloraz a przez b a : b
Litery wystepujące w wyrażeniach algebraicznych nazywamy zmiennymi i możemy je zastępować liczbami. Jednak nie zawsze możliwe jest podstawienie każdej liczby. Na przykład w wyrażeniu a : b nie możemy zamiast litery b podstawić 0, bo nie wolno dzielić przez zero.
Do wyrażeń algebraicznych możemy stosować działania, otrzymując następne bardziej skomplikowane wyrażenia. Jednak wtedy wyrażenia, na których wykonywujemy nowe działanie, bierzemy w nawias. Na przykład iloczyn sumy a i b przez różnicę x i y jest wyrażeniem
(a + b)(x - y),
a różnica tych wyrażeń jest wyrażeniem
a + b - (x - y).
W drugim przypadku wyrażenia a + b nie wzięliśmy w nawiasy, ponieważ nie zmieni to kolejności wykonywania działań.
Czasem mamy do czynienia z dwoma wyrażeniami połączonymi znakiem równości. Na przykład 2x + 3 = 7 lub a + b = b + a. Mówimy wtedy, że mamy do czynienia z równością wyrażeń algebraicznych albo po prostu z równością.
Równość algebraiczna nie musi być prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych. Równość 3x + 4 = 10 jest prawdziwa tylko dla x = 2. Równość zapisaną w celu znalezienia tych wartości zmiennych, dla których jest ona prawdziwa, nazywamy równaniem, a poszukiwane wartości zmiennych rozwiązaniami tego równania.
Za pomocą równości algebraicznych zapisywaliśmy wcześniej różne prawa działań na liczbach. W takich wypadkach często się zdarza, że równość jest prawdziwa dla wartości liczb zmiennych. Na przykład równość a + b = b + a jest prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych a i b i wyraża prawo przemienności dodawania.

Jednomiany
Iloczyn kilku czynników , z których każdy jest albo liczbą albo literą, nazywamy jednomianem. Przykładami jednomianów są : 5; 2,4 ; c2b. W szczególności liczba jest także jednomianem. Jednomiany na ogół przedstawia się w postaci jak najprostszej. Czynnosć tą nazywamy porządkowaniem jednomianu. W tym celu:
1. Jeśli w jednomianie występuje kilka liczb, to zastępujemy je ich iloczynem i zapisujemy na pierwszym miejscu. Iloczyn ten nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu lub krótko współczynnikiem jednomianu. Zatem
2a * 3b = 6ab , x * 4 = 4x ; (-2)x(-4)y = 8xy
Współczynnikami tych jednomianów są odpowiednio liczby 6, 4 oraz 8
2.Jeśli współczynnik jednomianu jest liczbą ujemną, to nie musimy ujmować go w nawiasy. Na przykład (-9)ac = -9ac. Zamiast współczynnika (-1) piszemy na początku jednomianu znak - . Na przykład, (-1)xyz = -xyz. Jeżeli w jednomianie nie występuje żadna liczba, to jego współczynnikiem jest 1. Na przykład a = 1a ; xy = 1xy.
3. Jeśli w jednomianie występuje kilka czynników ze znakiem - , to korzystając z równości -x=(-1)x możemy jednomian przekształcić w taki sposób, aby żaden z czynników poza współczynnikiem jednomianu nie występował z tym znakiem . Wyjątkiem jest tutaj, omówiony w poprzednim punkcie, przypadek współczynnika -1. Na przykład a(-b)c(-d) = a(-1)bc(-1)d = 1abcd = abcd
4.Iloczyn dwóch jednakowych czynników na przykład x * x, oznaczamy symbolem x2 oraz nazywamy drugą potęgą lub kwadratem x. Iloczyn x * x * x oznaczamy symbolem x3 i nazywamy trzecią potęgą lub sześcianem x. Podobnie iloczyn x * x * x* x oznaczamy symbolem x4 i nazywamy czwartą potęgą x itd. Korzystając z tego oznaczenia, możemy uprościć zapis jednomianu. Na przykład 6aaabb = 6a3b2
Wyrażenie x nazywamy pierwszą potęgą i oznaczamy je wtedy x1 . Jednomian będący iloczynem litery przez liczbę, nazywamy jednomianem stopnia pierwszego.
5.Zauważmy w końcu, że jeśli którykolwiek czynnik jednomianu jest zerem , to jednomian jest zerem ( jest równy liczbie zero ). Na przykład -0,2x * 0 * y =0
Wartość liczbową jednomianu dla danych wartości liczbowych wszystkich liter jednomianu obliczam, podstawiając w miejsce liter te wartości. Na przykład jednomian 2xy ma dla x= -0,05 oraz y = -10 wartość 2xy = 2 * (-0,05) * (-10) = 1

Suma algebraiczna
Wyrażenia algebraiczne nazywamy sumami algebraicznymi, jeżeli są sumami lub różnicami jednomianów. Na przykład :

2a + 3b +4c
jest sumą algebraiczną. Składniki sumy algebraicznej można przestawiać, ale łącznie ze znakami. Na przykład :
a- 2b +3c - 4d = a + 3c - 2b - 4d = 3c - 2b + a - 4d
Ponieważ odejmowanie jest tym samym co dodawanie liczby przciwnej a-b = a+ (-b) , więc sumę algebraiczną można zdefiniować następująco :

SUMĄ ALGEBRAICZNĄ NAZYWAMY SUMĘ JEDNOMIANÓW!!! J

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
Aby dodać do danego wyrażenia sumę algebraiczną, dopisujemy do niego po kolei wszystkie wyrazy tej sumy.
Na przykład a + (b+c) = a+ b + c
Aby odjąć od pewnego wyrażenia sumę algebraiczną , dopisujemy do tego wyrażenia po kolei wszystkie wyrazy sumy ze zmienionymi znakami.
Na przykład a - (b-c - d +e) = a - b +c + d -e
Jeżeli przed nawiasem występuje znak + to opuszczamy nawias bez zmiany znaków wewnątrz nawiasu.
Na przykład a + b + (c- d) = a+ b +c -d
Jeżeli przed nawiasem zaś stoi znak - to opuszczając nawias zmieniamy znaki każdego wyrazu wewnątrz nawiasów.
Na przykład: a+ b - (c+ d - e) = a + b - c - d + e

Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę
Według prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania (a + b) c = ac =bc zamiast mnożyć sumę (wynik dodawania) dwóch liczb przez trzecią liczbę, można każdy składnik sumy oddzielnie pomnożyć przez tę liczbę i otrzymane iloczyny dodać.
Na podstawie tej równości można przekształcić w podobny sposób iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę. Na przykład w iloczynie (a + b - c) d można czynnik a + b - c potraktować jako sumę dwóch liczb (a +b ) i (-c) i zastosować prawo rozdzielności :
(a + b - c)d = [(a+b) + (-c)]d = (a+b) d + (-c)d = ad + bd - cd
Iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę równa się sumie iloczynów wszystkich wyrazów sumy przez tą liczbę.
DZIELENIE SUMY ALGEBRAICZNEJ PRZEZ LICZBĘ
Aby podzielić sumę algebraiczną przez liczbę możemy
1. pomnożyć tę sumę przez odwrotność liczby na przykład
(a +b) :2 = (a+ b ) * 1/2 = 1/2 (a+b)
2. pomnożyć każdy składnik przez odwrotność tej liczby na przykład :
(a+b) :2 = 1/2 a + 1/2 b
3.podzielić każdy składnik tej sumy przez tę liczbę na przykład :
(a+b) :2 = a:2 + b:2
4.dzielenie zapisywać za pomocą kreski ułamkowej

Mnożnie sum algebraicznych
Gdy dana jest pewna równość tożsamościowa np: ab =ba i podstawimy w niej zamiast b jakieś inne wyrażenie np. c - d, otrzymamy równość
a(c-d) = (c-d)a, która jest także tożsamością . Gdy bowiem nadamy w niej literom a,c ,d jakiekolwiek wartości liczbowe np. a=5, c=7 , d=3, otrzymamy tę samą równość prawdziwa, co przy podstawieniu a=5, b=7-3 do równości poprzedniej.
Napiszmy tożsamość
(a-b+c) m =am - bm +cm
i podstawmy w niej zamiast m wyrażenie d - e ; otrzymamy tożsamość
(a-b+c) (d - e ) = a(d - e) - b( d - e) + c (d - e) .
Podobną równość możemy napisać dla jakichkolwiek dwóch sum algebraicznych. Zatem : Iloczyn dwóch sum algebraicznych równa się sumie iloczynów jednej z danych sum przez poszczególne wyrazy drugiej z nich. Prawą stronę ostatniej równości możemy dalej przekształcić :
a(d-e ) - b(d- e) + c (d- e) = ad - ae - bd + be +cd -ce.
Z tej i z poprzedniej równości wynika, że :
(a - b +c)( d- e) = ad- ae - bd + be +cd - ce

ABY POMNOŻYĆ DWIE SUMY ALGEBRAICZNE, MNOŻYMY KAŻDY WYRAZ JEDNEJ SUMY PRZEZ KAŻDY WYRAZ DRUGIEJ I DODAJEMY OTRZYMANE ILOCZYNY!!! J

6. Równania i nierówności

Całkowe równania, równania matematyczne, w których niewiadoma funkcja znajduje się pod znakiem całki. W ogólniejszym przypadku mogą to być równania całkowo-różniczkowe, w których występują zarówno całki, jak i pochodne niewiadomej funkcji.

Nierówność, relacja porządkująca (relacja) pomiędzy dwiema liczbami (w ogólności liczbami rzeczywistymi), określa, która z liczb jest większa od drugiej. Rozróżnia się nierówność ostrą (inaczej: mocną): a większe od b (zapis symboliczny: a>b), b mniejsze od a (b
7. Symetrie

Symetria osiowa
Dana jest prosta l, którą będziemy nazywać osią symetrii. Każdemu punktowi A płaszczyzny przyporządkowujemy punkt symetryczny względem prostej l. W tym celu wykonujemy następującą konstrukcję. Przez punkt A prowadzimy prostą prostopadłą do l przecinającą w punkcie 0. Następnie na tej prostej znajdujemy po przeciwnej stronie punkt A' taki że AO=A'O.
(rys.1)
Każdemu punktowi leżącemu na prostej l odpowiada ten sam punkt. W ten sposób każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada punkt symetryczny do niego względem prostej l.












8. Proporcjonalność

Wielkości wprost proporcjonalne
Wielkości wprost proporcjonalne zapisywane są wzorem typu:
y = A ∙ x
gdzie A - wielkość stała, nie zależna od x.
Jeżeli jaka wielkość fizyczna "y" jest wprost proporcjonalna do innej wielkości "x" (mówimy też, że są od siebie zależne liniowo), to oznacza to, że n - krotne zwiększenie wielkości "x" spowoduje n - krotne zwiększenie wielkości "y"; oczywiście jeżeli pozostałe, występujące we wzorze wielkości nie ulegną osobnej zmianie.



Wykresem zależności proporcjonalnej jest linia prosta.









Przykład interpretacji wielkości wprost proporcjonalnej
zinterpretujmy prawo: - a jest proporcjonalne do F
Dlatego:
dwukrotne zwiększenie F spowoduje automatycznie dwukrotne zwiększenie a, pięciokrotne zwiększenie F spowoduje pięciokrotne zwiększenie a; analogicznie zwiększenie 7 - krotne, 12 - krotne, 9,5 - krotne itd.
Jeżeli F zmaleje n - krotnie, to a też zmaleje n - krotnie.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne
wielkości typu:
gdzie A - jest stałe sygnalizują odwrotną proporcjonalność y od x
gdy wielkość y jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości x to oznacza to, że n - krotne zwiększenie x spowoduje n - krotne zmniejszenie y.
- mówiąc w skrócie gdy jedna wielkość, rośnie - to druga maleje i odwrotnie.
Wykresem zależności odwrotnie proporcjonalnej jest hiperbola











Przykład odczytywania wielkości odwrotnie proporcjonalnej:
znów zinterpretujmy wzór pod względem zależności F od m - tutaj F jest odwrotnie proporcjonalne do m.
Dlatego:

dwukrotne zwiększenie m spowoduje dwukrotne zmniejszenie a; analogicznie zwiększenie 3 - krotne, 12 - krotne, 9,5 - krotne itd.

gdy m zmaleje n - krotnie, to a wzrośnie n - krotnie (stąd nazwa "odwrotnie" proporcjonalne).