Równania i nierówności z parametrem

Na rysunku poniżej przedstawione są wykresy funkcji y = mx2 + mx + 1. Każdy z nich otrzymano w ten sposób, że literę m zastąpiono pewną liczbą.
We wzorze y = mx2 + mx + 1 litera m pełni inną rolę miż x. Litera x jest zmienną, natomiast m jest wielkością, którą możemy traktować jak konkretną liczbę. Mówimy, że m jest parametrem w tym wzorze.
Własność funkcji y = mx2 + mx + 1 zmieniają się w zależności od wartości parametru m. Dla m = 0 wykresem funkcji tego typu jest prosta, a dla m ≠ 0 - parabola. Wykresy te przecinają się w punktach (0,1) i (-1,1). Możemy również badać własności funkcji y = mx2 + mx + 1 w zależności od wartości parametru m, rozwiązując odpowiednie równania lub nierówności.
Przykład
Dla jakich wartości parametru m funkcja y = mx2 + mx + 1 nie ma miejsc zerowych?
Funkcja y = mx2 + mx + 1 nie ma miejsc zerowych, gdy równanie mx2 + mx + 1 = 0 nie ma rozwiązań.
Rozpatrzmy równanie
mx2 + mx + 1 = 0
Przypuśćmy, że m ≠ 0.
Równanie kwadratowe mx2 + mx + 1 = 0 nie ma rozwiązań, gdy Δ < 0.
Δ < 0
Δ = m2 - 4m
m2 - 4m < 0
m⋅(m - 4) = 0
m = 0 lub m = 4
m∈(0;4)
Przypuśćmy, że m = 0.
0⋅x2 + 0⋅x + 1 = 0
1 = 0
Równanie sprzeczne. Równanie nie ma rozwiąza, gdy m = 0.
Równanie mx2 + mx + 1 = 0 nie ma rozwiązań, gdy m∈(0;4) lub gdy m = 0, czyli dla m∈<0;4).
Odp. Funkcja y = mx2 + mx + 1 nie ma miejsc zerowych dla m∈<0;4).
Również w równaniach i nierównościach pewne litery możemy traktować jako zmienne, a inne litery - jako parametry. Możemy wówczas badać na przykład liczbę rozwiązań równania lub nierówności w zależności od wartości parametru.
Przykłady równań i nierówności z parametrem
Przykład
Dla jakich wartości parametru p równanie 3x2 + px + p + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie, które jest liczbą ujemną?
Warunek 1. Równanie ma jedno rozwiązanie.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie gdy Δ = 0.
Δ = 0
Δ = p2 - 4⋅3(p + 1) = p2 - 12p - 12
p2 - 12p - 12 = 0
Rozwiązujemy równanie p2 - 12p - 12 = 0
Δ1 = (-12)2 - 4⋅1⋅(-12) = 144 + 48 = 192
Równanie 3x2 + px + p + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie dla
Warunek 2. Rozwiązanie równania jest liczbą ujemną.
Obliczamy jedyne rozwiązanie równania 3x2 + px + p + 1 = 0
Obliczamy dla jakich wartości parametru p rozwiązanie x = -p/6 jest liczbą ujemną
p > 0
Warunek 1 i Warunek 2 są spełnione, gdy
p1 nie spełnia warunków zadania, gdyż p1 < 0
Odp. Równanie 3x2 + px + p + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie, które jest liczbą ujemną, dla
Przykład
Dla jakich wartości parametru p równanie x2 + px + p + 5 = 0 ma dwa rozwiązania, które są liczbami dodatnimi?
Warunek 1. Równanie ma dwa rozwiązania.
równanie ma dwa rozwiązania, gdy Δ > 0.
Δ > 0
Δ = p2 -4(p + 5) = p2 - 4p - 20
p2 - 4p - 20 > 0
p2 - 4p - 20 = 0
Δ1 = 16 - 4⋅(-20) = 16 + 80 = 96
unek 2. Rozwiązania są liczbami dodatnimi.
Iloczyn i suma dwóch liczb dodatnich musi być liczbą dodatnią
x1⋅x2 > 0 i x1 + x2 > 0
Ze wzoru Viète'a:
p + 5 > 0
p > -5
p∈(-5;+∞)
Ze wzoru Viète'a:
-p > 0
p < 0
p∈(-∞;0)
Warunek 1 i Warunek 2 są spełnione, gdy
Zatem
Odp. Równanie x2 + px + p + 5 = 0 ma dwa rozwiązania, które są dodatnie, gdy
Przykład
Dla jakich wartości parametru k nierówność 2x2 + kx + 8 ≤ 0 jest sprzeczna?
Parabola y = 2x2 + kx + 8 ma ramiona skierowane w górę, zatem nierówność
2x2 + kx + 8 ≤ 0
będzie sprzeczna, gdy równanie 2x2 + kx + 8 = 0 nie będzie miało rozwiązań
Warunek: Równanie 2x2 + kx + 8 = 0 nie ma rozwiązań.
Δ < 0
Δ = k2 - 4⋅2⋅8 = k2 - 64
k2 - 64 < 0
k2 = 64
k = -8 lub k = 8
k∈(-8;8)
Odp. Nierówność 2x2 + kx + 8 ≤ 0 nie ma rozwiązań dla k∈(-8;8).