Indukcyjność

Indukcja własna
Prąd i płynący w obwodzie zamkniętym wytwarza pole magnetyczne, którego linie przenikają wnętrze tego obwodu. Wobec tego z rozpatrywanym obwodem skojarzony jest strumień ψ. Zakładając, że prąd i jest wielkością zmienną w czasie, wtedy zarówno pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd, jak i strumień skojarzony ψ zmieniają się w czasie, a więc w obwodzie indukuje się siła elektromotoryczna. Zjawisko indukowania się siły elektromotorycznej w obwodzie wskutek przepływu prądu zmiennego w tym samym obwodzie nazywamy indukcją własną.
Gdy w otoczeniu rozpatrywanego obwodu nie ma żadnych ciał ferromagnetycznych to indukcja magnetyczna B w każdym punkcie pola jest proporcjonalna do prądu i. Na tej podstawie wnioskujemy, że strumień skojarzony ψ obwodu jest proporcjonalny do prądu i płynącego w tym obwodzie,
ψ=Li
Wielkość L nazywamy indukcyjnością własną, współczynnikiem samoindukcji lub indukcyjnością obwodu. Indukcyjność obwodu jest wielkością stałą, gdy w jego otoczeniu nie ma żadnych ciał ferromagnetycznych. Jednostką główną indukcyjności w układzie SI jest henr (H).

Indukcja wzajemna
Mając dwa obwody 1, 2 zawierające odpowiednio z1, z2 zwojów i znajdujące się blisko siebie w jednorodnym, izotropowym środowisku, zakładamy, że w obwodzie 1 płynie prąd i1, zaś obwód 2 jest rozwarty, zatem i2 = 0. Prąd i1 w obwodzie 1 wytwarza pole magnetyczne, przy czym część linii tego pola przenika obwód 2. Niech ψ21 to strumień skojarzony obwodu 2 wytworzony przez prąd i1 w obwodzie 1. Gdy wszystkie zwoje obwodu 2 przenika taki sam strumień magnetyczny φ21 wytworzony przez prąd i1 w obwodzie 1, wtedy
ψ_21=z_2 φ_21
Jeżeli w otoczeniu rozpatrywanej cewki nie ma żadnych ciał ferromagnetycznych, strumień skojarzony
ψ_21=M_21 i_1
Analogicznie, gdy obwód 1 jest rozwarty wtedy i1 = 0, a gdy w obwodzie 2 płynie prąd i2, część linii pola magnetycznego wytworzonego przez prąd i2 przenika obwód 1. Strumień skojarzony obwodu 1 wytworzony przez prąd i2 w obwodzie 2 będzie ψ12. Gdy wszystkie zwoje obwodu 1 przenika ten sam strumień magnetyczny φ12 wytworzony przez prąd i2, wtedy
ψ_12=z_1 φ_12
Proporcjonalność między strumieniem skojarzonym a wytwarzającym go prądem jest następująca
ψ_12=M_12 i_2

M=ψ_12/i_1 =ψ_21/i_2
M=(z_2 φ_21)/i_1 =(z_1 φ_12)/i_2

Jeżeli przez oby dwa obwody płynie prąd, odpowiednio i1, i2 to
ψ_12=Mi_2 ψ_21=Mi_1
ψ_11=L_1 i_1 〖 ψ〗_11=L_2 i_2

ψ_1=L_1 i_1±M_(i_2 )
ψ_2=L_2 i_2±M_(i_1 )

 
Obliczanie indukcyjności wzajemnej dla 2 przewodów w środowisku jednorodnym izotropowym oraz przy stałej przenikalności magnetycznej µ. Zakładamy również że prąd w drugim przewodzie nie płynie.
Wynika z tego że strumień skojarzony obwodu 2:
ψ_21=z_2 ∮_(c_2)▒A∙dl_2
Czego dowodzą poniższe zależności dla powierzchni S ograniczonej krzywą zamkniętą:
ψ=∫_S▒〖B∙dS=〗 ∫_S▒〖rotA∙dS〗
∮_(c_2 (s))▒A∙dl_2=∫_S▒〖rotA∙dS〗=ψ

Po zastąpieniu obwodu 1 cienkim przewodem wzdłuż krzywej c_1 w którym płynie prąd 〖 i〗_1 z_1 to
potencjał wektorowy:
A=(μz_1 i_1)/4π ∮_c1▒(dl_1)/r
A strumień:
ψ_21=(μz_1 z_2 i_1)/4π ∮_(c_2)▒∮_(c_1)▒(dl_1∙dl_2)/r
I indukcyjność wzajemna pierwszego obwodu na drugi:
M_21=ψ_21/i_1 =(μz_1 z_2)/4π ∮_(c_2)▒∮_(c_1)▒(dl_1∙dl_2)/r
Teraz zakładając że i_1=0 a w przewodzie drugim płynie prąd:
M_12=ψ_21/i_2 =(μz_1 z_2)/4π ∮_(c_2)▒∮_(c_1)▒(dl_1∙dl_2)/r
dlatego
M_12=M_21

M=(μz_1 z_2)/4π ∮_(c_2)▒∮_(c_1)▒(dl_1∙dl_2)/r
Indukcyjność wzajemna dwóch równoległych przewodów o długości l, znajdujących się w środowisku o przenikalności magnetycznej μ_0. Przy jednakowych zwrotach prądów w obydwu przewodach dl_1∙dl_2=dx_1∙dx_2


M=±μ_0/4π ∫_0^l▒∫_0^l▒(dx_1∙dx_2)/√(d^2+(x_2-x_1 )^2 )
M=±(μ_0 l)/2π (ln (l+√(d^2+l^2 ))/d-(√(d^2+l^2 )-d)/l)
Natomiast gdy l≫d to
M=±(μ_0 l)/2π (ln 2l/d-1)