Bryłą dualną względem sześcianu jest ośmiościan foremny[1].
Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Wielościan dualny W' do wielościanu W to wielościan skonstruowany w następujący sposób:

  • W środku masy każdej ściany W umieszczamy wierzchołek W'.
  • Jeśli dwie ściany W miały wspólną krawędź, ich środki łączymy krawędzią w W'.
  • Wypełniamy powstałe brzegi wielokątów ścianami, a ograniczoną przez nie przestrzeń wnętrzem wielościanu W'.
  • Powiększamy proporcjonalnie cały wielościan W' tak aby średnia odległość wierzchołków od jego środka masy była identyczna jak w przypadku W.

Wielościan W' ma:

  • tyle samo krawędzi co W;
  • tyle wierzchołków, ile W ma ścian;
  • tyle ścian, ile W miał wierzchołków.

Wielościan dualny do W' to ponownie wielościan W.

Przykłady:

Wielościan Wielościan dualny
CzworościanCzworościan
Czworościan foremnyCzworościan foremny
SześcianOśmiościan foremny
Ośmiościan foremnySześcian
Dwunastościan foremnyDwudziestościan foremny
Dwudziestościan foremnyDwunastościan foremny
Wielościany półforemneWielościany Catalana
Sześcio-ośmiościanDwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowySześcio-ośmiościan

Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Np. jeśli połączymy odpowiednio środki ścian dwunastościanu foremnego, to otrzymamy dwudziestościan foremny (lub, ściślej rzecz ujmując, "szkielet" dwudziestościanu foremnego, jego krawędzie). I odwrotnie - po połączeniu środków ścian dwudziestościanu foremnego, powstanie dwunastościan foremny. Podobną własność ma para sześcian i ośmiościan foremny. Parę wielościanów dualnych stanowią również przykładowo sześcio-ośmiościan oraz dwunastościan rombowy.

Przypisy

  1. ↑ dualność, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-12].
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.