Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

Animacja obrotu dwudziestościanu

Przykładowa siatka dwudziestościanu foremnego

Dwudziestościan foremny a. ikosaedr^[1][2] lub ikozaedr^[3] (z gr.) – najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych^[4]. Ma 30 krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii^[2][5]. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu, otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty^[2]. Symetria bryły jest opisana niekrystalograficzną klasą m35^[2].

Wzory i własności

W poniższych wzorach ${\displaystyle a}$ oznacza długość krawędzi dwudziestościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitej^[6]:

${\displaystyle S=5\ a^{2}{\sqrt {3}}\approx 8{,}6603\ a^{2}}$

• Objętość^[6]:

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\ a^{3}\ (3+{\sqrt {5}})\approx 2{,}1817\ a^{3}}$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych na wpisanych kulach o takim samym promieniu zachodzi zależność^[5]:

${\displaystyle {\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$

gdzie ${\displaystyle V_{n},\;S_{n}}$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni ${\displaystyle n}$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanej^[6]:

${\displaystyle r={\frac {a}{12}}\ {\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\approx 0{,}7558\ a}$

• Promień kuli opisanej:

${\displaystyle R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0{,}9511\ a}$

• Promień kuli stycznej do krawędzi^[6]

${\displaystyle \delta ={\frac {a(1+{\sqrt {5}})}{4}}}$

• kąt między ścianami:

138,2°

• Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwudziestościan ścięty

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja dwudziestościanu w oparciu o sześcian