W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna nazywana jest charakterem Dirichleta modulo [1], jeśli dla ustalonej liczby naturalnej i wszystkich liczb całkowitych spełnia warunki:
- tzn. jest całkowicie multiplikatywna.
- jeśli oraz jeśli gdzie oznacza największy wspólny dzielnik i
- – ma okres
Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez
Najczęściej jest on zapisywany jako .
W ogólności, dla każdej liczby całkowitej istnieje dokładnie (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod . Są to (lub ) dane przez dla pewnej liczby całkowitej zależnej od , i dla oraz dla .
Przykłady
Dla istnieje 6 różnych charakterów mod 7.
Tutaj .
Własności
Przystawanie
Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli , to
.
Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.
Tocjent
Jeśli , to z twierdzenia Eulera wiadomo, że , więc
.
Ortogonalność
Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,
oraz
.
Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest[1]
Wykorzystanie
Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.
Funkcje L Dirichleta
Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta. Definiuje się je jako szereg
dla danego charakteru i wszystkich liczb zespolonych na półpłaszczyźnie oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej[2]. Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera
.
Twierdzenie Siegela-Walfisza
Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję
.
Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem
.
Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej istnieje liczba taka, że dla i dowolnego niepryncypialnego charakteru zachodzi[2]
.
Przypisy
- 1 2 Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-16] .
- 1 2 Henryk Iwaniec , Emmanuel Kowalski , Analytic Number Theory, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 8 czerwca 2004 (Colloquium Publications), DOI: 10.1090/coll/053, ISBN 978-0-8218-3633-0 [dostęp 2023-12-10] .