Dowód

Załóżmy, że ciąg ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech ${\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}.}$ Dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ istnieje takie naturalne ${\displaystyle N,}$ że ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon ,}$ jako że w przeciwnym wypadku ${\displaystyle c-\varepsilon }$ byłoby ograniczeniem górnym ${\displaystyle \{a_{n}\},}$ mniejszym od ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\},}$ co przeczy definicji ${\displaystyle c,}$ jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro ${\displaystyle (a_{n})}$ jest niemalejący, to

${\displaystyle \forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leqslant c-a_{N}<\varepsilon ,}$

co oznacza, że ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest zbieżny i jego granicą jest ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum