Funkcja Liouville’a jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb[1]. Swoją nazwę nosi od nazwiska francuskiego matematyka, Josepha Liouville’a. Przyjmuje ona wartość gdy jej argument ma parzyście wiele dzielników pierwszych (licząc z wielokrotnościami), a gdy ma nieparzyście wiele.

Definicja

Funkcja Liouville’a dla o rozkładzie na czynniki pierwsze jest zadana przez

Równoważnie, z wykorzystaniem funkcji pierwszej omega, możemy zdefiniować

Wykorzystanie

Za pomocą funkcji Liouville’a można opisać równanie funkcyjne dla funkcji zeta Riemanna[2],

dla a także dla funkcji L Dirichleta,

na tym samym zbiorze.

Definiując funkcję sumującą Liouville’a z jej pomocą możemy zapisać równoważnie twierdzenie o liczbach pierwszych jako[1]

Przypisy

  1. 1 2 Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York, NY: Springer New York, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISBN 978-1-4419-2805-4.
  2. Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory, Colloquium Publications, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 8 czerwca 2004, DOI: 10.1090/coll/053, ISBN 978-0-8218-3633-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.